Дополнение (математика)

Дополне́ние — математическая операция, которая данному подмножеству ${\displaystyle M}$ данного множества ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle M\in E}$, ставит в соответствие другое подмножество ${\displaystyle N\in E}$ таким образом, что когда известны подмножества ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, тогда можно восстановить всё множество ${\displaystyle E}$ каким-нибудь способом^[1].

В случаях различных структур общего множества ${\displaystyle E}$ генерируются различные определения термина «дополнение» и разнообразные алгоритмы восстановления ${\displaystyle E}$ по его подмножествам ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$^[1].

Дополнение подмножества ${\displaystyle M}$ (или дополнительное подмножество) до множества ${\displaystyle E}$ — подмножество множества ${\displaystyle E}$, образованное всеми элементами ${\displaystyle E}$, которые не принадлежат ${\displaystyle M}$. Обозначения дополнительного подмножества: ${\displaystyle C_{E}M}$, ${\displaystyle CM}$, ${\displaystyle E\setminus M}$^[1].

Одно из главных свойств дополнения подмножества служит следующий принцип двойственности^[1]:

${\displaystyle C_{E}(\cup _{\xi }M_{\xi })=\cap _{\xi }(C_{E}M_{\xi })}$.

Прямое алгебраическое дополнение подпространства векторного пространства — любое подпространство векторного пространства такое, что его прямая алгебраическая сумма с исходным подпространством есть всё векторное пространство^[2][1].

Прямое алгебраическое дополнение произвольного подпространства всегда существует, но определяется неоднозначно^[1][2].

Особенно часто используется частный случай прямого алгебраического дополнения — ортогональное дополнение подпространства, когда оба подпространства взаимно ортогональны^[3][4][5].

Обобщение прямого алгебраического дополнения — прямое топологическое дополнение^[6].

Прямое топологическое дополнение подпространства линейного топологического пространства — любое подпространство линейного топологического пространства такое, что его прямая топологическая сумма с исходным подпространством есть всё линейное топологическое пространство^[6].

Дополняемое подпространство — подпространство, для которого имеется прямое топологическое дополнение^[6].

Вместо линейного топологического пространства рассматривают также его частный случай: локально выпуклое пространстве^[2].

Ортогональное дополнение подпространства гильбертова пространства — частный случай прямого топологического дополнения^[6].

Обобщение прямого топологического дополнения — дизъюнктное дополнение множества^[6].

Дизъюнктное дополнение множества условно полной векторной решётки — любое множество с элементами определённого вида этой векторной решётки, которое образует линейное подпространство этой векторной решётки и при определённых условиях его прямая сумма с исходным множеством есть вся векторная решётка^[6][7].

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Соболев В. И. Дополнение, 1979, стб. 373.
2. ↑ ^{1 2 3} Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства, 1967, Глава V. Индуктивные и проективные пределы. 7. Топологические дополнения, с. 142.
3. ↑ Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание, 1977, Глава II. Общие основы. Линейные многообразия в конечномерных евклидовых пространствах, с. 12.
4. ↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства, 1969, 8.36, с. 254.
5. ↑ Стрэнг Г. Линейная алгебра и её применения, 1980, § 3.2. Проекции на подпространства…, с. 135—140.
6. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Соболев В. И. Дополнение, 1979, стб. 374.
7. ↑ Вулих Б. З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств, 1961, Глава IV. К-пространства. § 3. Проектирование на компоненту, с. 98.

• Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание = Arthur Albert. Regression and Moor-Penrose pseudoinverse (1972) (рус.) / Пер. с англ. Р. Ш. Липцера под ред. Я. З. Цыпкина. — М.: «Наука», 1977. — 223 с. — 6000 экз.
• Вулих Б. З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств (рус.). — М.: Физматгиз, 1961. — 407 с. — 9000 экз.
• Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства = A. P. Robertson, Wendy Robertson. Topological vector spaces (1964) (рус.) / Пер. с англ. Д. Ф. Борисовой под ред. и с приложениями Д. А. Райкова. — М.: «Мир», 1967. — 257 с. — (Библиотека сборника «Математика»).
• Соболев В. И. Дополнение // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2 Д—Коо. — Стб. 373—374. — 1104 стб., ил. — 148 800 экз.
• Стрэнг Г. Линейная алгебра и её применения = Gilbert Strang. Linear algebra and its applications (1976) (рус.) / Пер. с англ. Ю. А. Кузнецова, Д. М. Фаге. — М.: «Мир», 1980. — 454 с., ил.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства (рус.). — М.: «Наука», 1969. — 432 с., ил.