Прямое топологическое дополнение

Прямо́е топологи́ческое дополне́ние подпространства линейного топологического пространства — любое подпространство линейного топологического пространства такое, что его прямая топологическая сумма с исходным подпространством есть всё линейное топологическое пространство^[1].

Дополняемое подпространство — подпространство, для которого имеется прямое топологическое дополнение^[1].

Вместо линейного топологического пространства рассматривают также его частный случай: локально выпуклое пространстве^[2].

Ортогональное дополнение подпространства гильбертова пространства — частный случай прямого топологического дополнения^[1].

Другой частный случай прямого топологического дополнения — прямое алгебраическое дополнение^[1].

Обобщение прямого топологического дополнения — дизъюнктное дополнение множества^[1].

Формально определение прямого топологического дополнения можно записать следующим образом. Рассмотрим линейное топологическое пространство ${\displaystyle (E,\,\tau )}$ и оно есть прямая алгебраическая сумма ${\displaystyle E=M\oplus N}$ своих подпространств ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ — линейных топологических пространств с индуцированной топологией. Но при

${\displaystyle x=y+z}$, ${\displaystyle \quad x\in E}$, ${\displaystyle \quad y\in M}$, ${\displaystyle \quad z\in N}$

билинейное отображение прямого произведения на пространство ${\displaystyle E=M\oplus N}$

${\displaystyle (y,\,z)\to y+z}$^{[комм 1]},

которое непрерывно по причине линейности топологии ${\displaystyle \tau }$, в общем случае не взаимно непрерывно^[1].

Когда же это отображение взаимно непрерывно, то есть это гомеоморфизм, другими словами, пространство ${\displaystyle E}$ есть прямая топологическая сумма пространств ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, то тогда подпространство ${\displaystyle N}$ называется прямым топологическим дополнением подпространства ${\displaystyle M}$, которое, в свою очередь, называется при этом дополняемым^[1].

Но в общем линейном топологическом пространстве не всякое его подпространство, пусть даже и конечномерное, дополняемо^[1].

Подпространство ${\displaystyle M}$ пространства ${\displaystyle E}$ дополняемо тогда и только тогда, когда имеется непрерывный проектор ${\displaystyle P}$ пространства ${\displaystyle E}$ на подпространство ${\displaystyle M}$^[1].

Подпространство ${\displaystyle M}$ пространства ${\displaystyle E}$ дополняемо тогда и только тогда, когда подпространство ${\displaystyle M}$ топологически изоморфно фактор-пространству ${\displaystyle E/N}$, где ${\displaystyle N}$ — прямое алгебраическое дополнение ${\displaystyle M}$^[1].

Подпространство ${\displaystyle M}$ пространства ${\displaystyle E}$ дополняемо тогда, когда ${\displaystyle M}$ обладает конечной коразмерностью и замкнуто^[1].

Подпространство ${\displaystyle M}$ пространства ${\displaystyle E}$ дополняемо тогда, когда ${\displaystyle E}$ локально выпукло, ${\displaystyle M}$ конечномерно и ${\displaystyle N}$ замкнуто^[1].

Ортогональное дополнение подпространства гильбертова пространства — частный случай прямого топологического дополнения^[1].

Ортогональное дополнение подпространства ${\displaystyle M}$ гильбертова пространства ${\displaystyle H}$ — множество

${\displaystyle M^{\bot }=\{x\in H\mid (x,\,y)=0\quad \forall y\in M\}}$,

которое есть замкнутое подпространство пространства ${\displaystyle H}$^[1].

Следующая теорема очень важна для теории гильбертовых пространства^[1].

Любое замкнутое подпространство ${\displaystyle M}$ гильбертова пространства ${\displaystyle H}$ обладает ортогональным дополнением ${\displaystyle M^{\bot }}$, причём ${\displaystyle H=M\oplus M^{\bot }}$^[1].

Рассмотрим произвольное локально выпуклое пространство ${\displaystyle E}$ и два его векторных подпространства ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, причём ${\displaystyle E}$ есть прямая алгебраическая сумма ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, то есть ${\displaystyle M\oplus N=E}$ и ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$^[3].

Но в общем случае локально выпуклое пространство ${\displaystyle E}$ может и не быть прямой топологической суммой пространств ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, каждое из которых наделено индуцированной топологией, причём естественный алгебраический изоморфизм между фактор-пространством ${\displaystyle E/M}$ и подпространством ${\displaystyle N}$ может и не быть топологическим^[3].

Сформулируем теорему о топологической сумме подпространств. Рассмотрим локально выпуклое пространство ${\displaystyle E}$ как прямую алгебраическую сумму векторных подпространств ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, проекции ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ пространства ${\displaystyle E}$ на подпространства ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно, а также канонические отображения ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k}$ пространства ${\displaystyle E}$ на фактор-пространства ${\displaystyle E/M}$ и ${\displaystyle E/N}$ соответственно, то есть для произвольного ${\displaystyle x\in E}$ имеем: ${\displaystyle h(x)=x+M}$, ${\displaystyle k(x)=x+N}$. Тогда пять следующих утверждений равносильны:

(I) ${\displaystyle E}$ есть прямая топологическая сумма подпространств ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$,

(II) ${\displaystyle P}$ непрерывна,

(III) ${\displaystyle Q}$ непрерывна,

(IV) ${\displaystyle h}$ есть изоморфизм ${\displaystyle N}$ на ${\displaystyle E/M}$,

(V) ${\displaystyle k}$ есть изоморфизм ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle E/N}$^[3].

Действительно, поскольку ${\displaystyle P+Q}$ есть тождественное отображение пространства ${\displaystyle E}$, то утверждения (II) и (III) равносильны^[3].

Далее, сумма ${\displaystyle M\oplus N}$ обладает сильнейшей локально выпуклой топологией, которая совпадает с исходными топологиями в подпространствах ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$^[3]. Такая топология совпадает с топологией произведения, поэтому она слабейшая из топологий, при которой проекции ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ непрерывны, и, как следствие, (I) равносильно (II) и (III)^[2].

Наконец, для произвольной окрестности ${\displaystyle U\subset E}$ множество ${\displaystyle k(U\cap M)}$ служит окрестностью в ${\displaystyle E/N}$ тогда и только тогда, когда прообраз

${\displaystyle (U\cap M)\oplus N=P^{-1}(U\cap M)}$

служит окрестностью в ${\displaystyle E}$. Отсюда (II) равносильно (V). Аналогично (III) равносильно (IV)^[2].

Приведём следствие из предыдущей теоремы. Когда локально выпуклое пространство ${\displaystyle E}$ есть прямая алгебраическая сумма двух векторных подпространств:

• конечномерного ${\displaystyle M}$,
• замкнутого ${\displaystyle N}$,

тогда ${\displaystyle E}$ есть прямая топологическая сумма этих подпространств ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$^[2].

В самом деле, так как векторное подпространство ${\displaystyle N\subset E}$ замкнуто, то фактор-пространство ${\displaystyle E/N}$ отделимо. С другой стороны, векторное подпространство ${\displaystyle M\subset E}$ тоже отделимо, поскольку каноническое отображение ${\displaystyle k}$ есть взаимно однозначное непрерывное линейное отображение ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle E/N}$. Следовательно, ${\displaystyle k}$ — топологический изоморфизм. Следовательно, верно утверждение (V), а значит, и утверждение (I)^[2].

Прямое топологическое дополнение векторного подпространства ${\displaystyle M}$ в локально выпуклом пространстве ${\displaystyle E}$ — любое векторное подпространство ${\displaystyle N}$ пространства ${\displaystyle E}$ такое, что прямая топологическая сумма ${\displaystyle N}$ с исходным векторным пространством ${\displaystyle M}$ есть всё пространство ${\displaystyle E}$^[2].

Но описанное прямое топологическое дополнение в общем случае может не существовать^[4].

Если локально выпуклое пространстве ${\displaystyle E}$ отделимо, то векторного подпространство ${\displaystyle M\in E}$ имеет прямое топологическое дополнение только тогда, когда оно замкнуто^[4].

Но не любое замкнутое векторное подпространство локально выпуклого пространства имеет прямое топологическое дополнение^[4].

Следует учитывать, что два произвольных прямых топологических дополнений векторного подпространство ${\displaystyle M\in E}$ изоморфны как изоморфные фактор-пространству ${\displaystyle E/M}$ (по теореме о топологической сумме подпространств)^[4].

Векторное подпространство ${\displaystyle M}$ локально выпуклого пространства ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle M\in E}$, имеет прямое топологическим дополнением тогда и только тогда, когда найдётся непрерывный проектор ${\displaystyle P}$ пространства ${\displaystyle E}$ на подпространство ${\displaystyle M}$, то есть найдётся непрерывное линейное отображение ${\displaystyle P}$ пространства ${\displaystyle E}$ в себя такое, что ${\displaystyle P(E)=M}$ и ${\displaystyle P^{2}=P}$^[4].

Действительно, пусть ${\displaystyle M}$ обладает прямым топологическим дополнением ${\displaystyle N}$ в ${\displaystyle E}$, тогда имеется заявленный проектор ${\displaystyle P(M\oplus N)=M}$. Обратно, пусть имеется заявленный проектор ${\displaystyle P(E)=M}$, тогда положим ${\displaystyle N=P^{-1}(0)}$, в итоге ${\displaystyle P(M\oplus N)=M}$ и ${\displaystyle E}$ — прямая топологическая сумма ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ (по теореме о топологической сумме подпространств)^[4].

Если ${\displaystyle E}$ — локально выпуклое пространство, ${\displaystyle M\in E}$ — замкнутое векторное подпространство и фактор-пространство ${\displaystyle E/M}$ конечномерно, то любое прямое алгебраическое дополнение к подпространству ${\displaystyle M}$ есть также и прямое топологическое дополнение (по следствию к теореме о топологической сумме подпространств)^[4].

В произвольном отделимой локально выпуклом пространстве любое конечномерное векторное подпространство ${\displaystyle M}$ имеет прямое топологическое дополнение^[4].

В самом деле, рассмотрим базис ${\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\dots ,\,e_{n}}$ конечномерного векторного подпространства ${\displaystyle M}$. Для такого базиса имеются непрерывные линейные формы ${\displaystyle f_{1},\,f_{2},\,\dots ,\,f_{n}}$, для которых ${\displaystyle f_{i}(e_{j})=0}$ при ${\displaystyle i\neq j}$ и ${\displaystyle f_{i}(e_{i})=1}$^[5].

Далее, построим проектор следующего вида^[5]:

${\displaystyle P(x)=\sum _{1\leqslant i\leqslant n}f_{i}(x)e_{i}}$.

Продолжая, имеем^[5]:

${\displaystyle P^{2}(x)=\sum _{1\leqslant j\leqslant n}f_{j}(\sum _{1\leqslant i\leqslant n}f_{i}(x)e_{i})e_{j}=}$

${\displaystyle =\sum _{1\leqslant i\leqslant n}\sum _{1\leqslant j\leqslant n}f_{i}(x)f_{j}(e_{i})e_{j}=P(x)}$.

Наконец, отсюда следуте, что ${\displaystyle P}$ есть непрерывный проектор на подпространстве ${\displaystyle M}$, следовательно, ${\displaystyle M}$ имеет прямое топологическое дополнение по предпоследнему утверждению^[5].

1. ↑ Исправленная опечатка в источнике.

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16} Соболев В. И. Дополнение, 1979, стб. 374.
2. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства, 1967, Глава V. Индуктивные и проективные пределы. 7. Топологические дополнения, с. 142.
3. ↑ ^{1 2 3 4 5} Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства, 1967, Глава V. Индуктивные и проективные пределы. 7. Топологические дополнения, с. 141.
4. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8} Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства, 1967, Глава V. Индуктивные и проективные пределы. 7. Топологические дополнения, с. 143.
5. ↑ ^{1 2 3 4} Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства, 1967, Глава V. Индуктивные и проективные пределы. 7. Топологические дополнения, с. 144.

• Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства = A. P. Robertson, Wendy Robertson. Topological vector spaces (1964) (рус.) / Пер. с англ. Д. Ф. Борисовой под ред. и с приложениями Д. А. Райкова. — М.: «Мир», 1967. — 257 с. — (Библиотека сборника «Математика»).
• Соболев В. И. Дополнение // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2 Д—Коо. — Стб. 373—374. — 1104 стб., ил. — 148 800 экз.