Ехиднаэдр

Ехидна́эдр (англ. echidnahedron) — последняя звёздчатая форма икосаэдра^[1][2], также называют полной или завершающей формой икосаэдра, так как она включает в себя все ячейки звёздчатой диаграммы икосаэдра.

Впервые ехиднаэдр был описан Максом Брюкнером в 1900 году. Название ехиднаэдру дал Эндрю Хьюм, опираясь на то, что его телесные углы при вершинах малы и это делает его похожим на колючего ежа или ехидну^[3].

На основании анализа научной литературы Бранко Грюнбаум в статье «Может ли каждая плоскость многогранника иметь много сторон?» («Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?») отмечает, что существует по крайней мере три различных метода рассмотрения многогранников. В случае ехиднаэдра это:

• объединение 180 треугольных граней;
• пересечение 20 самопересекающихся граней — эннеаграмм;
• пересечение 18-угольных звёздчатых многоугольников^[4].

Как простая, видимая поверхность многогранника, внешняя форма ехиднаэдра состоит из 180 треугольных граней, которые образуют 270 рёбер, которые, в свою очередь, встречаются в 92 вершинах^[5].

Все вершины ехиднаэдра лежат на поверхности трёх концентрических сфер. Внутренняя группа из 20 вершин образует вершины правильного додекаэдра; следующий слой из 12 вершин образует вершины правильного икосаэдра; и наружный слой из 60 вершин образует вершины усечённого икосаэдра^[6].

Завершающая звёздчатая форма икосаэдра также может быть рассмотрена как самопересекающийся звёздчатый многогранник, имеющий 20 граней, соответствующих 20 граням икосаэдра. Каждая грань является неправильным звёздчатым многоугольником (или эннеаграммой)^[7]. Каждые три грани образуют одну вершину, поэтому ехиднаэдр имеет 20 × 9 ÷ 3 = 60 вершин (этот внешний слой вершин и образует кончики «колючки») и 20 × 9 ÷ 2 = 90 рёбер (каждое ребро звёздчатого многогранника включает 2 из 180 видимых рёбер многогранника).

Эта звёздчатая форма многогранника образуется путём присоединения к икосаэдру всех отсеков, получаемых при продлении граней икосаэдра бесконечными плоскостями^[8]. Таким образом, создается новый многогранник, ограниченный этими плоскостями как гранями, а пересечениями этих плоскостей являются рёбра. В книге «Пятьдесят девять икосаэдров» перечислены созвездия икосаэдра (включая ехиднаэдр) в соответствии с набором правил, выдвинутым Джеффри Миллером^[1].

• Символ Дю Валя^[9] ехиднаэдра — это H, поскольку он включает все ячейки в схеме созвездия, в том числе наиболее удалённый уровень - уровень «h»^[10].
• В книге Магнуса Веннинджера Модели многогранников ехиднаэдр имеет индекс W₄₂^[2].
• Если бы грани ехиднаэдра являлись правильными эннаграммами, его можно было бы рассматривать как правильный многогранник с символом Шлефли {9/4,3}. Это означает, что в каждой вершине сходятся 3 грани, где каждая грань представляет собой неправильный 9/4 звёздчатый многоугольник^[7].

• Эйлерова характеристика ехиднаэдра равна 2^[5]. Данная характеристика считается по формуле ${\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}},}$ где Г, Р и В — числа граней, рёбер и вершин соответственно.
• Если рассматривать ехиднаэдр как звёздчатый многогранник, то завершающая форма икосаэдра является благородным многогранником, так как он является равногранным (гране-транзитивным) и изогональным (вершинно-транзитивным).

• Если рассматривать ехиднаэдр как геометрическое тело с длинами рёбер a, Φa, Φ²a и Φ²a√2 (где Φ — золотое сечение), то площадь поверхности ехиднаэдра составляет^[6]

${\displaystyle S={\frac {1}{20}}(13211+{\sqrt {174306161}})a^{2}\,,}$

а объём^[6]

${\displaystyle V=(210+90{\sqrt {5}})a^{3}\,.}$

• Радиусы сфер, на которых расположены вершины ехиднаэдра, находятся в соотношении^[6]

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{2}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(97+43{\sqrt {5}}\right)}}\,.}$

• Тензор инерции ехиднаэдра постоянной плотности может быть представлен как диагональная матрица 3×3, элементы главной диагонали которой равны ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{45}}\left(299+131{\sqrt {5}}\right)Ma^{2}}$ (где M — общая масса)^[6].

Ехиднаэдр принадлежит к звёздчатым многогранникам, которые впервые в научной литературе были описаны в 1619 году в трактате Harmonices Mundi Иоганом Кеплером. Кеплер дал математическое обоснование свойств двух типов правильных звёздчатых многогранников: малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр^[11]. Гораздо позже — в 1809 году — Луи Пуансо заново открыл многогранники Кеплера, а также открыл ещё два звёздчатых многогранника: большой додекаэдр и большой икосаэдр, которые теперь называют телами Кеплера — Пуансо^[12]. А в 1812 году Огюстен Коши доказал, что существует только 4 вида правильных звёздчатых многогранников^[7][11].

Впервые ехиднаэдр был описан в 1900 году Максом Брюкнером в классической работе о многогранниках, озаглавленной «Многоугольники и многогранники», где помимо него были описаны ещё 9 звёздчатых форм икосаэдра^[13]. С тех пор ехиднаэдр стал появляться в работах других математиков, причём он не имел единого обозначения. В 1924 году Альберт Виллер опубликовал список 20 звёздчатых форм (22, включая копии), и в том числе ехиднаэдр^[14]. Наиболее систематическое и полное исследование звёздчатых многогранников провели Гарольд Коксетер совместно с Патриком дю Валем, Флейзером и Джоном Петри в 1938 году в книге Пятьдесят девять икосаэдров, где они применили правила ограничения, установленные Дж. Миллером. Коксетер доказал, что существует всего 59 звёздчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией. Ехиднаэдр занимает восьмое место в книге^[1]. В труде Магнуса Веннинджера, изданной в 1974 году Модели многогранников, ехиднаэдр включён как 17-я модель икосаэдра с индексом W₄₂^[2].

Современное название последней звёздчатой формы икосаэдра дал Эндрю Хьюм в 1995 году в своей базе данных Netlib как echidnahedron^[15] (ехидна, или колючий муравьед, небольшое млекопитающее, покрытое жёсткими волосами и шипами, сворачивается в клубок, чтобы защититься).

База данных Netlib охватывает все регулярные многогранники, архимедовы тела, ряд призм и антипризм, все многогранники Джонсона

(выпуклые многогранники, у которых каждая грань — правильный многоугольник) и некоторые странные многогранники, включая ехиднаэдр (моё название, на самом деле это завершающая форма икосаэдра).

Оригинальный текст (англ.)

"It (Netlib) covers all the regular polyhedra, archimedean solids, a number of prisms and antiprisms, and all the Johnson polyhedra (all convex polyhedra with regular polygonal faces) and some odd solids including the echidnahedron (my name; its actually the final stellation of the icosahedron)".

— ^[3]

• Harold Scott MacDonald Coxeter, P. Du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie. Пятьдесят Девять Икосаэдров = The Fifty-Nine Icosahedra. — 3-е изд. — Tarquin, 1999. — P. 30–31. — 72 p. — ISBN 978-1-899618-32-3.
• Magnus J. Wenninger. Модели многогранников = Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1971. — P. 65. — ISBN 0-521-09859-9.
• Louis Poinsot. Записки о многоугольниках и многогранниках = Memoire sur les polygones et polyèdres. — J. de l'École Polytechnique, 1810. — P. 16–48.
• Peter R. Cromwell. Многогранники = Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — P. 268. — ISBN 0-521-66405-5.
• Max Brückner. Многоугольники и многогранники: теория и история = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. — Leipzig: B. G. Teubner Verlag, 1900. — ISBN 978-1-4181-6590-1.
• A. H. Wheeler. Некоторые формы икосаэдра и метод получения и обозначения высших многогранников (англ.) = Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra // Proc. Internat. Math. Congress. — Toronto, 1924. — Vol. 1. — P. 701–708.
• Gerald Jenkins, Magdalen Bear. Последняя звёздчатая форма икосаэдра: расширенная математическая модель — вырезать и склеить = The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together. — Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. — ISBN 978-0-906212-48-6.
• Branko Grünbaum. Может ли каждая грань многогранника иметь много сторон? (англ.) = Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?. — 2008. — P. 15.

• Andrew Hume. Geometry.research › Polyhedra database (англ.). Google.com. Дата обращения: 26 октября 2014.
• Andew Hume. Polyhedron database Netlib, model 141 (англ.). Дата обращения: 7 ноября 2014.
• Eric Weisstein. Kepler-Poinsot Solid (англ.). Mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 26 октября 2014.
• Eric Weisstein. Echidnahedron (англ.). Mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 26 октября 2014.
• Eric Weisstein. Icosahedron Stellations (англ.). Mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 7 ноября 2014.
• Ralph Jones. Instructions for constructing a model of the echidnahedron (англ.) (Microsoft Word(.doc)). Дата обращения: 26 октября 2014. Архивировано 4 октября 2011 года.
• Guy Inchbald. Towards stellating the icosahedron and faceting the dodecahedron (англ.). Дата обращения: 7 ноября 2014.
• Echidnahedron (англ.). Honeylocust Media Systems (2006). Дата обращения: 26 октября 2014. Архивировано 7 октября 2008 года.
• Завершающая звёздчатая форма икосаэдра  (рус.). Wenninger.narod.ru. Дата обращения: 3 ноября 2014.