Икосаэдральная симметрия

Точечная группа в трёхмерном пространстве
Группы многогранников, [n,3], (*n32)
Симметрии-инволюции C_s, (*) [ ] =	Циклическая симметрия C_nv, (*nn) [n] =	Диэдральная симметрия D_nh, (*n22) [n,2] =
Тетраэдральная симметрия T_d, (*332) [3,3] =	Октаэдральная симметрия O_h, (*432) [4,3] =	Икосаэдральная симметрия I_h, (*532) [5,3] =

Правильный икосаэдр имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и имеет порядок симметрии 120, включая преобразования, которые комбинируют отражение и вращение. Правильный додекаэдр имеет тот же набор симметрий, поскольку он двойственен икосаэдру.

Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которую обозначают A₅ (знакопеременная группа на 5 буквах), а полная группа симметрии (включающая отражения) является произведением A₅ $\times$ Z₂. Последняя группа известна также как группа Коксетера H₃ и представляется в нотации Коксетера как [5,3] и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина .

Как точечная группа

Кроме двух бесконечных семейств призматической и антипризматической симметрии, вращательная икосаэдральная симметрия или хиральная икосаэдральная симметрия хиральных объектов и полная икосаэдральная симметрия или ахиральная икосаэдральная симметрия являются дискретными точечными симметриями (или, эквивалентно, симметриями на сфере) с наибольшей группой симметрии.

Икосаэдральная симметрия не совместима с трансляционной симметрией, так что нет ассоциированных кристаллографических точечных групп или кристаллографических групп.

Шёнфлис	Коксетер		Орбифолд	Абстрактная структура	Порядок
I	[5,3]⁺		532	A₅	60
I_h	[5,3]		*532	$A_{5}\times 2$	120

Задания групп, соответствующие описанным выше:

I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \

I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\

Это соответствует икосаэдральным группам (вращения и полным), которые являются (2,3,5) группами треугольника.

Первое задание группы дал Гамильтон в 1856 году в своей статье по икосианам^[1].

Заметим, что возможны другие задания, как, например, знакопеременная группа (для I).

Визуализация

Шёнфлис (Орбифолд)	Нотация Коксетера	Элементы	Зеркальные диаграммы
Шёнфлис (Орбифолд)	Нотация Коксетера	Элементы	Ортогональная	Стереографическая проекция
I_h (*532)	[5,3]	Зеркальных линий: 15
I (532)	[5,3]⁺	Точек вращения: 12₅ 20₃ 30₂

Структура группы


Рёбра сферического соединения пяти октаэдров представляют 15 плоскостей зеркального отражения в виде больших цветных окружностей. Каждый октаэдр может представлять 3 ортогональных плоскостей зеркального отражения по его рёбрам.

Пиритоэдральная симметрия является подгруппой с индексом 5 икосаэдральной симметрии, с 3 ортогональными зелёными линиями отражений и 8 красных порядка 3 точек вращения. Поскольку подгруппа имеет индекс 5, имеется 5 других ориентаций пиритоэдральной симметрии.

Группа вращений икосаэдра I имеет порядок 60. Группа I изоморфна группе A₅, знакопеременной группе чётных перестановок из пяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализован путём действия I на различные соединения, в частности на соединение пяти кубов (которое вписано в двенадцатигранник), соединение пяти октаэдров, или одно из двух соединений пяти тетраэдров (которые энантиоморфны и вписаны в двенадцатигранник).

Группа содержит 5 версий T_h с 20 версиями D₃ (10 осей, 2 на ось), и 6 версий D₅.

Полная икосаэдральная группа I_h имеет порядок 120. I является нормальной подгруппы группы I_h индекса 2. Группа I_h изоморфна $I\times Z_{2}$ , или $A_{5}\times Z_{2}$ , с центральной симметрией, соответствующей (1,-1), где Z₂ записывается мультипликативно.

I_h действует на соединение пяти кубов и соединение пяти октаэдров, но −1 действует как тождественный элемент (так как кубы и октаэдры центрально симметричны). Группа действует на соединение десяти тетраэдров — I действует на две хиральные половинки (соединения пяти тетраэдров), а −1 обменивает местами две половинки. В частности, она не действует как S₅ и эти группы не изоморфны, смотрите ниже.

Группа содержит 10 версий D_3d и 6 версий D_5d (симметрии аналогичные антирпизимам).

I изоморфна также группе PSL₂(5), но I_h не изоморфна SL₂(5).

Группы, которые часто путают с группой симметрий икосаэдра

Следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны друг другу:

S₅, симметрическая группа 5 элементов
I_h, полная икосаэдральная группа (предмет данной статьи, известная также как H₃)
2I, бинарная группа икосаэдра

Они соответствуют следующим коротким точным последовательностям (последняя из которых не разбивается) и произведению

1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1

I_{h}=A_{5}\times Z_{2}

1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1

Иными словами,

$A_{5}$ является нормальной подгруппой группы $S_{5}$
$A_{5}$ является факторгруппой группы $I_{h}$ , которая является прямым произведением
$A_{5}$ является факторгруппой группы $2I$

Заметим, что $A_{5}$ имеет исключительное неприводимое 3-мерное представление (как икосаэдральная группа вращений), но $S_{5}$ не имеет неприводимого 3-мерного представления, соответствующего полной икосаэдральной группе, не являющейся симметрической группой.

Их можно соотнести с линейными группами над конечным полем с пятью элементами, которые представляют собой подгруппы накрывающих групп прямо. Ни одна из них не является полной икосаэдральной группой:

$A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),$ проективная специальная линейная группа;
$S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),$ проективная полная линейная группа;
$2I\cong \operatorname {SL} (2,5),$ специальная линейная группа.

Классы сопряжённости

Классы сопряжённости
I	I_h
Тождество $12\times$ вращение на 72°, порядок 5 $12\times$ вращение на 144°, порядок 5 $20\times$ вращение на 120°, порядок 3 $15\times$ вращение на 180°, порядок 2	Отражение $12\times$ зеркальное отражение с вращением на 108°, порядок 10 $12\times$ зеркальное отражение с вращением на 36°, порядок 10 $20\times$ r зеркальное отражение с вращением на 60°, порядок 6 $15\times$ зеркальное отражение, порядок 2

Явное представление матрицами вращений

В контексте вычислений, группа икосаэдральных вращений $I$ , описанная выше, может быть представлена следующими 60 матрицами поворота. Оси вращений соответствуют всем циклическим перестановкам $(\pm 1,0,\pm \phi )$ , где $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ является золотым сечением. Отражение относительно любой плоскости, проходящей через начало координат, дают полную икосаэдральную группу $I_{h}$ . Все эти матрицы могут быть получены, начав с единичной матрицы, последовательным умножением каждой матрицы в наборе на любые из двух произвольных невырожденных матриц, таких как $R_{6}$ и $R_{58}$ , пока размер множества не перестанет расти.

R_{1}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

R_{2}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}

R_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{5}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{7}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{8}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{11}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{12}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{13}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{18}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{20}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{21}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{22}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{23}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{26}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{27}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}

R_{28}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}

R_{29}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{30}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{31}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{32}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{33}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}

R_{34}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}

R_{35}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{38}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{39}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{40}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{41}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{43}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{48}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{49}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{50}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{53}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{54}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{56}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{59}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}

R_{60}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

Подгруппы с полной икосаэдральной симметрией

Шёнфлис	Коксетер	Орбифолд	Г-М	Структура	Порядок	Индекс
I_h	[5,3]	*532	532/m	A₅ $\times Z_{2}$	120	1
D_2h	[2,2]	*222	mmm	Dih₂ $\times \mathrm {Dih} _{1}=\mathrm {Dih} _{1}^{3}$	8	15
C_5v	[5]	*55	5m	Dih₅	10	12
C_3v	[3]	*33	3m	Dih₃=S₃	6	20
C_2v	[2]	*22	2mm	Dih₂=Dih₁²	4	30
C_s	[ ]	*	2 or m	Dih₁	2	60
T_h	[3⁺,4]	3*2	m3	$A_{4}\times Z_{2}$	24	5
D_5d	[2⁺,10]	2*5	10m2	$\mathrm {Dih} _{10}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{5}$	20	6
D_3d	[2⁺,6]	2*3	3m	$\mathrm {Dih} _{6}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{3}$	12	10
$D_{1d}=C_{2h}$	[2⁺,2]	2*	2/m	Dih₂=Z₂ $\times \mathrm {Dih} _{1}$	4	30
S₁₀	[2⁺,10⁺]	$5\times$	5	$Z_{10}=Z_{2}\times Z_{5}$	10	12
S₆	[2⁺,6⁺]	$3\times$	3	$Z_{6}=Z_{2}\times Z_{3}$	6	20
S₂	[2⁺,2⁺]	$\times$	1	$Z_{2}$	2	60
I	[5,3]⁺	532	532	A₅	60	2
T	[3,3]⁺	332	332	A₄	12	10
D₅	[2,5]⁺	522	522	Dih₅	10	12
D₃	[2,3]⁺	322	322	Dih₃=S₃	6	20
D₂	[2,2]⁺	222	222	$\mathrm {Dih} _{2}=Z_{2}^{2}$	4	30
C₅	[5]⁺	55	5	$Z_{5}$	5	24
C₃	[3]⁺	33	3	$Z_{3}=A_{3}$	3	40
C₂	[2]⁺	22	2	$Z_{2}$	2	60
C₁	[ ]⁺	11	1	$Z_{1}$	1	120

Все эти классы подгрупп сопряжены (то есть все стабилизаторы вершин сопряжены) и допускают геометрическую интерпретацию.

Заметим, что стабилизатор вершины/ребра/грани/многогранника и его противоположный равны.

Стабилизаторы вершин

Стабилизаторы противоположных пар вершин можно интерпретировать как стабилизаторы осей, которые они образуют.

стабилизаторы вершин в I дают циклические группы C₃
стабилизаторы вершин в I_h дают диэдральные группы D₃
стабилизаторы противоположных пар вершин в I дают диэдральные группы D₃
стабилизаторы противоположных пар вершин в I_h дают $D_{3}\times \pm 1$

Стабилизаторы рёбер

Стабилизаторы противоположных пар рёбер можно интерпретировать как стабилизаторы прямоугольника, который они образуют.

Стабилизаторы рёбер в I дают циклические группы Z₂
Стабилизаторы рёбер в I_h дают четверные группы Клейна $Z_{2}\times Z_{2}$
стабилизаторы пар рёбер в I дают четверные группы Клейна $Z_{2}\times Z_{2}$ . Существует 5 из них, задаваемых вращением на 180° в 3 перпендикулярных осях.
стабилизаторы пар рёбер в I_h дают $Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}$ . Существует 5 таких, и они задаются отражениями относительно 3 перпендикулярных осей.

Стабилизаторы граней

Стабилизаторы противоположных пар граней можно интерпретировать как стабилизаторы антипризмы, которую они порождают.

стабилизаторы граней в I дают циклические группы C₅
стабилизаторы граней в I_h дают диэдральные группы D₅
стабилизаторы противоположных пар граней в I дают диэдральные группы D₅
стабилизаторы противоположных пар граней в I_h дают $D_{5}\times \pm 1$

Стабилизаторы многогранников

Для каждого из них есть 5 сопряжённых копий и операция сопряжения образует отображение, фактически, изоморфизм $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}$ .

стабилизаторы вписанного тетраэдра в I являются копией T
стабилизаторы вписанного тетраэдра в I_h являются копией T
стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I являются копиями T
стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I_h являются копиями T_h

Фундаментальная область

Фундаментальные области для икосаэдральной группы вращений и полная икосаэдральная группа задаются как:

икосаэдральная группа вращений I	Полная икосаэдральная группа I_h	Грани гекзакисикосаэдра являются фундаментальными областями

В гекзакисикосаэдре одна полная грань является фундаментальной областью. Другие тела с той же симметрией могут быть получены путём настройкой ориентации граней, например, выравниванием выбранного подмножества граней с последующим объединением каждого подмножества в грань, или путём замены каждой грани на несколько граней, или путём создания неплоской поверхности.

Многогранники с икосаэдральной симметрией

Хиральные многогранники

Класс	Символы	Рисунок
Архимедовы	sr{5,3}
Каталановы	V3.3.3.3.5

Полная икосаэдральная симметрия

Правильный многогранник	Тела Кеплера — Пуансо		Архимедовы тела
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
Правильный многогранник	Тела Кеплера — Пуансо		Каталановы тела
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Другие объекты с икосаэдральной симметрией

Примеры икосоэдральной симметрии

Феодария, радиолярия

Капсид аденовируса

Ион додекабората [B₁₂H₁₂]²⁻

Поверхности Барта
Структура вируса и Капсиды
В химии ион додекабората ([B₁₂H₁₂]²⁻) и молекула додекаэдрана (C₂₀H₂₀)

Жидкие кристаллы с икосаэдральной симметрией

Для промежуточного стояния вещества, называемого жидкими кристаллами, существование икосаэдральной симметрии предположили Х. Кляйнерт и К. Маки^[2] и впервые детально проанализировали структуру этих кристаллов. См. обзор статьи здесь. В алюминии икосаэдральную структуру обнаружил тремя годами позже Дан Шехтман, что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году.

Связанные геометрии

Группа симметрий икосаэдра эквивалентна проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X(5). Помимо этого, группа PSL(2,p) является группой симметрии модулярной кривой X(p). Модулярная кривая X(5) геометрически является двенадцатигранником с каспом в центре каждой грани и имеет соответствующую группу симметрии.

Эту геометрию и ассоциированную группу симметрии изучал Феликс Кляйн как группы монодромии поверхности Белого — римановы поверхности с голоморфным отображением в риманову сферу, разветвлённым в 0, 1 и бесконечности — каспы являются точками на бесконечности, в то время как вершины и центры каждого ребра лежат на 0 и 1. Степень накрытия (число листов) равно 5.

Это возникает из его попыток дать геометрическое обоснование, почему икосаэдральная симметрия появляется в решении уравнения пятой степени в теории из знаменитой статьи Кляйна^[3]. Современное описание дано в статье Тота^[4].

Исследования Кляйна продолжились с его открытием симметрий 7 и 11 порядков в статьях 1878-1879 годов^[5]^[6] (и ассоциированных накрытий степени 7 и 11) и dessins d'enfants (так называемых «детских рисунков»), давших первые появления квартик Кляйна, ассоциированная геометрия которых имеет мозаику из 24 семиугольников (с каспом в центре каждого семиугольника).

Подобные геометрии случаются для групп PSL(2,n) и более общих групп для других модулярных кривых.

Более экзотичное проявление, существует особая связь между группами PSL(2,5) (порядка 60), PSL(2,7) (порядка 168) и PSL(2,11) (порядка 660), которые также допускают геометрические интерпретации — PSL(2,5) является симметриями икосаэдра (род 0), PSL(2,7) — квартики Клейна (род 3), а PSL(2,11) — поверхности фуллерона (род 70). Эти группы образуют «троицу» в терминологии В. И. Арнольда, что даёт основу для различных связей. См. подробнее в статье «Троицы».

Также группа симметрий икосаэдра тесно связана с другими группами симметрий правильных многогранников.

См. также

Примечания

↑ Hamilton, 1856, с. 446.
↑ Kleinert, Maki, 1981, с. 219–259.
↑ Klein, 1888.
↑ Tóth, 2002, с. 66; Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron.
↑ Klein, 1878.
↑ Klein, 1879.

Литература

Memorandum respecting a new System of Roots of Unity // Philosophical Magazine. — 1856. — Т. 12. — С. 446.
Kleinert H., Maki K. Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals // Fortschritte der Physik. — 1981. — Т. 29, вып. 5. — С. 219–259. — doi:10.1002/prop.19810290503.
Felix Klein. Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. — 1878. — Т. 14, вып. 3. — С. 428–471. — doi:10.1007/BF01677143. Перевод на английский
- On the order-seven transformation of elliptic functions // The Eightfold Way / Silvio Levy. — Cambridge University Press, 1999. — ISBN 978-0-521-66066-2.
Felix Klein. Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions) // Mathematische Annalen. — 1879. — Т. 15, вып. 3—4. — С. 533–555. — doi:10.1007/BF02086276. Oeuvres, Tome 3, pp. 140—165
Felix Klein. Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree. — Trübner & Co., 1888. — ISBN 0-486-49528-0.
Gábor Tóth. Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli. — New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. — (Universitext). — ISBN 0-387-95323-X.
Peter R. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge university press, 1997. — С. 296. — ISBN 9-521-55432-2.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — CRC Press, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
Kaleidoscopes: Selected Writings of Coxeter H.S.M. / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
Johnson N.W. Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups // Geometries and Transformations. — 2018. — ISBN 978-1-107-10340-5.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Icosahedral group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
THE SUBGROUPS OF W(H3) (Подгруппы других групп Коксетера) Gotz Pfeiffer

[_0674b2f991580f6f-1] Hamilton, 1856, с. 446.

[_d3712dc95e75f90d-2] Kleinert, Maki, 1981, с. 219–259.

[_f8a637e7aca4fd0d-3] Klein, 1888.

[_30e25d8ca73378a9-4] Tóth, 2002, с. 66; Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron.

[_03621c65daf167ac-5] Klein, 1878.

[_98f92931c657d891-6] Klein, 1879.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]