Интегральный косинус

Интегра́льный ко́синус — специальная функция, определяемая интегралом^[1]

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}dt}$

или:

${\displaystyle \gamma +\ln x+\int \limits _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Иногда используются другие определения:

${\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ci} (x).}$

Также возможно определение интегрального косинуса через интегральную показательную функцию по аналогии с обычным косинусом^[2]:

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {Ei} (ix)+\operatorname {Ei} (-ix)\right)}$

Интегральный косинус был введён Лоренцо Маскерони в 1790 году.

• Непосредственно из определения следует, что производная интегрального косинуса равна ${\displaystyle {\frac {\cos(x)}{x}}}$, а неопределённый интеграл равен ${\displaystyle x\operatorname {Ci} (x)-\sin {x}}$.

• Интегральный косинус может быть представлен в виде ряда:

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2\cdot 2!}}+{\frac {x^{4}}{4\cdot 4!}}-{\frac {x^{6}}{6\cdot 6!}}+\cdots =\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!(2n)}}}$

• Существует формула для рядов, содержащих интегральные косинусы:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\operatorname {Ci} (2\pi xn)={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {H} _{\lceil x\rceil }-\ln x-\gamma -{\frac {2-1_{\mathbb {N} }(x)}{2\lceil x\rceil }}\right)}$, где ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}}$ - гармонические числа, а ${\displaystyle 1_{\mathbb {N} }(x)}$ - индикаторная функция на множестве натуральных чисел. В частности из этой формулы вытекают данные соотношения:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\operatorname {Ci} (\pi n)={\frac {\ln(2)}{2}}-{\frac {\gamma }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\operatorname {Ci} (2\pi n)={\frac {1}{4}}-{\frac {\gamma }{2}}}$

• Кроме того, несобственные интегралы от степеней интегрального косинуса сходятся. Например:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\text{Ci}}(x)\,\mathrm {d} x=0}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\text{Ci}}^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\text{Ci}}^{3}(x)\,\mathrm {d} x=-{\frac {3\pi \ln 2}{2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\operatorname {Ci} ^{4}(x)\,\mathrm {d} x=3\pi \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {2}{3}}\right)+{\frac {3\pi }{2}}\ln ^{2}3}$, где ${\displaystyle \operatorname {Li_{2}} (x)}$ - дилогарифм.

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}{\text{Ci}}(ax)\,\mathrm {d} x={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\Gamma \left(0,{\frac {a^{2}}{4}}\right)}$, где ${\displaystyle \Gamma (a,b)}$ - неполная гамма-функция.

• Интегральный косинус так же появляется в результате интегрирования. В частности, известен следующий красивый результат:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-{\frac {\pi \tan t}{2}}}\,\mathrm {d} t=\operatorname {Ci} \left({\frac {\pi }{2}}\right)}$

• Интегральный синус
• Интегральная показательная функция
• Интегральный логарифм

• Интегральный синус // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 238. — 847 с., ил. — 148 900 экз.
• Weisstein, Eric W. Cosine Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.