Метод Декарта — Эйлера

Метод Декарта-Эйлера — один из способов решения алгебраического уравнения четвёртой степени, названный в честь Рене Декарта и Леонарда Эйлера ^[1].

Идея сведения решения уравнения четвёртой степени к кубическому восходит к Рене Декарту (1637), который использовал подобный подход в своей работе «Геометрия».^[2] Леонард Эйлер (1744) в своей работе «Универсальная арифметика» существенно развил и систематизировал метод, придав ему ту форму, в которой он обычно излагается. Поэтому метод носит имена обоих учёных.

Метод Декарта — Эйлера для решения уравнений четвёртой степени основан на замене переменных и приведении уравнения к кубической форме. Этот метод позволяет эффективно получить решение уравнения четвертой степени по сравнению с методом Феррари. Для уравнения четвёртой степени вида ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$, найти такое кубическое уравнение вида ${\displaystyle a_{3}z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}}$ с корнями ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$, которые различными сочетаниями дает корни исходного уравнения четвёртой степени

Математически, для уравнения ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

${\displaystyle x_{1,2,3,4}=\pm {\sqrt {z}}_{1}\pm {\sqrt {z}}_{2}\pm {\sqrt {z}}_{3}-{\frac {b}{4a}}}$

Где ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ — корни кубического уравнения вида

${\displaystyle z^{3}+z^{2}{\frac {p}{2}}+z{\frac {p^{2}-4r}{16}}-{\frac {q^{2}}{64}}=0}$

${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$

${\displaystyle q={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$

${\displaystyle r={\frac {-3b^{4}+16ab^{2}c-64a^{2}bd+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$

Имеем уравнение вида

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

Путем замены ${\displaystyle y=x+{\frac {b}{4a}}}$, получаем

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0}$, где

${\displaystyle p={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$

${\displaystyle q={\frac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$

${\displaystyle r=-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {e}{a}}={\frac {-3b^{4}+16ab^{2}c-64a^{2}bd+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$

Представим корень как сумму ${\displaystyle y=\alpha +\beta +\gamma }$, в таком случае

${\displaystyle (\alpha +\beta +\gamma )^{4}+p(\alpha +\beta +\gamma )^{2}+q(\alpha +\beta +\gamma )+r=0}$

Преобразовав получим

${\displaystyle (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})^{2}+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )(4(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})+2p)+4(\alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}+\gamma ^{2}\alpha ^{2})+(\alpha +\beta +\gamma )(8\alpha \beta \gamma +q)+p(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})+r=0}$

Пусть ${\displaystyle 4(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})+2p=0}$ и ${\displaystyle 8\alpha \beta \gamma +q=0}$, тогда

${\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=-{\frac {p}{2}}}$

${\displaystyle \alpha \beta \gamma =-{\frac {q}{8}}}$

${\displaystyle \alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}+\gamma ^{2}\alpha ^{2}={\frac {p^{2}-4r}{16}}}$

Вспомним теорему Виета^[3] для кубического уравнения вида ${\displaystyle a_{3}z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}=0}$

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}+z_{2}+z_{3}=-{\dfrac {a_{2}}{a_{3}}}\\z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}={\dfrac {a_{1}}{a_{3}}}\\z_{1}z_{2}z_{3}=-{\dfrac {a_{0}}{a_{3}}}\end{cases}}}$

Заменяя ${\displaystyle \alpha ^{2}=z_{1};\beta ^{2}=z_{2};\gamma ^{2}=z_{3}}$, получим уравнение вида

${\displaystyle z^{3}+z^{2}{\frac {p}{2}}+z{\frac {p^{2}-4r}{16}}-{\frac {q^{2}}{64}}=0}$

Находя корни ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$, находим ${\displaystyle \alpha }$; ${\displaystyle \beta }$; ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \alpha =\pm {\sqrt {z}}_{1};\beta =\pm {\sqrt {z}}_{2};\gamma =\pm {\sqrt {z}}_{3}}$

Так как ${\displaystyle y=\alpha +\beta +\gamma }$ и ${\displaystyle y=x+{\frac {b}{4a}}}$ подставив, получаем

${\displaystyle x=\pm {\sqrt {z}}_{1}\pm {\sqrt {z}}_{2}\pm {\sqrt {z}}_{3}-{\frac {b}{4a}}}$

Различными сочетаниями знаков, при соблюдении условия

${\displaystyle (\pm {\sqrt {z_{1}}})(\pm {\sqrt {z_{2}}})(\pm {\sqrt {z_{3}}})=-{\frac {q}{8}}}$

получаем 4 корня исходного уравнения

• Теорема Абеля — Руффини
• Уравнение четвёртой степени
• Биквадратное уравнение
• Метод Феррари
• Формула Кардано
• Кубическое уравнение
• Квадратное уравнение

• Татьяна Александровна Оболдина, Полина Евгеньевна Кед Методы решения уравнений четвертой степени cyberleninka.ru
• Файловый архив студентов StudFiles
• Решение алгебраических уравнений в «Универсальной арифметике» Л. Эйлера