Область Зигеля

О́бласть Зи́геля — неограниченная область ${\displaystyle D(V)}$ в комплексном аффинном пространстве, по сути аналог верхней полуплоскости в случае одного комплексного переменного, основанная на вещественном открытом выпуклом конусе ${\displaystyle V}$^[1][2].

Эта область названа в честь немецкого математика К. Зигеля, впервые использовавшего некоторый её частный случай в 1939 году^[1][2][3].

Верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля^[1].

Наиболее простые области Зигеля называются областями Зигеля 1-го рода, сложнее — 2-го рода и ещё сложнее — 3-го рода. Области Зигеля 1-го рода — частные случаи областей Зигеля 2-го рода, а области 2-го рода — частные случаи областей Зигеля 3-го рода^[4].

Термин «область Зигеля» появился при изучении автоморфных функций многих комплексных переменных. Это центральное понятие в теории однородных ограниченных областей^[1].

В этой статье, так как по условию конус ${\displaystyle V}$ не может включать целую прямую, этот конус рассматривается в такой системе координат, в которой он принадлежит следующему ортанту^[5]:

${\displaystyle y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0.}$

Также в этой статье для областей Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ размерность линейного пространства вектор-функций ${\displaystyle c(t)}$, согласованных с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$ и биголоморфных в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, равна удвоенной размерности этой формы^[6].

Здесь будет определена область Зигеля 1-го рода, показано, что всякая область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ может быть биголоморфно отображена на некоторую ограниченную область, а также выяснен вид голоморфных автоморфизмов, оставляющих на месте «бесконечно удаленную точку» области ${\displaystyle D(V)}$^[5].

Обозначим через ${\displaystyle V}$ открытый выпуклый конус в вещественном ${\displaystyle n}$-мерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, причём пересечение конуса ${\displaystyle V}$ с произвольной прямой пространства есть либо отрезок, либо полупрямая. В этой статье используются только такие конусы^[5].

Область Зигеля 1-го рода — неограниченное множество ${\displaystyle D(V)}$ точек ${\displaystyle n}$-мерного комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z),}$ ${\displaystyle D(V)\subset \mathbb {C} ^{n}(z)}$^[1][5]:

${\displaystyle D(V)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z=x+iy,\,x\in \mathbb {R} ^{n},\,y\in V\}.}$

При ${\displaystyle n=1}$ одномерный конус одномерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — это полупрямая, поэтому верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля 1-го рода^[1].

Теорема 1. Произвольная область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ биголоморфно эквивалентна некоторой ограниченной области, которая принадлежит прямому произведению ${\displaystyle n}$ кругов^[5].

Доказательство. По условию конус ${\displaystyle V}$ не может включать целую прямую, следовательно, имеется система координат такая, что в ней конус ${\displaystyle V}$ принадлежит следующему ортанту^[5]:

${\displaystyle y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0.}$

Отсюда получаем, что произвольная область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ принадлежит следующей ${\displaystyle n}$-мерной области^[5]:

${\displaystyle \operatorname {Im} z_{1}>0,\,\operatorname {Im} z_{2}>0,\,\dots ,\,\operatorname {Im} z_{n}>0,}$

А эта область, в свою очередь, биголоморфно эквивалентна прямому произведению ${\displaystyle n}$ кругов, которое ограничено^[5]. □

Остов области Зигеля 1-го рода — та часть границы ${\displaystyle \partial D(V)}$ области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$, которая состоит из точек вида ${\displaystyle z=x}$^[5]. Заметим, что вещественная размерность остова равна комплексной размерности ${\displaystyle n}$ всей области ${\displaystyle D(V)}$^[7].

Теорема 1 (об автоморфизме остова). Остов области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ переходит сам в себя при любом автоморфизме области ${\displaystyle D(V)}$, голоморфном в замыкании области ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$^[8].

Доказательство. Обозначим через ${\displaystyle H_{\overline {D(V)}}}$ множество всех голоморфных в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$ функций, которые имеют максимум в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$. Тогда для любой голоморфной функции ${\displaystyle f(z)\in H_{\overline {D(V)}}}$ найдётся точка остова, в которой функция ${\displaystyle f(z)}$ имеет максимум модуля^[5].

Обратно, для любой точки остова ${\displaystyle z'=(x'_{1},\,x'_{2},\,\dots ,\,x'_{n})}$ найдётся голоморфная функция ${\displaystyle f(z)\in H_{\overline {D(V)}}}$ с максимумом модуля в этой точке, например, следующая голоморфная функция^[5]:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z_{1}-x'_{1}+i)(z_{2}-x'_{2}+i)\cdots (z_{n}-x'_{n}+i)}}}$. □

Прим доказательстве теоремы понадобится следующая формулировка леммы Чеботарёва^[8].

Лемма 1 (Чеботарёв). На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (\zeta )}$ функция ${\displaystyle f(\zeta )}$, аналитическая в открытой верхней полуплоскости ${\displaystyle \operatorname {Im} \zeta >0}$ при условии ${\displaystyle \operatorname {Im} f(\zeta )>0}$, непрерывная в замкнутой верхней полуплоскости ${\displaystyle \operatorname {Im} \zeta \geqslant 0}$ и принимающая вещественные значения на вещественной оси может быть представлена на верхней полуплоскости в следующем линейном виде:

${\displaystyle f(\zeta )=a\zeta +b}$,

где ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle b}$ — вещественные числа^[8][9].

Теорема 1. Произвольный голоморфный автоморфизм области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$, непрерывный в замыкании ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$, имеет следующий матричный линейный вид:

${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} +\mathbf {b} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — аффинное преобразование вещественного конуса ${\displaystyle V}$ на себя самого, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — вещественный вектор^[8].

Предложение 1. Произвольная ограниченная область комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ всегда содержит объём, инвариантный относительно её голоморфных автоморфизмов^[10].

Найдём формулу инвариантного элемента объёма ${\displaystyle dv}$ в области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$. Пусть

${\displaystyle dv=\lambda (x,\,y)dxdy,}$

где

${\displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$, ${\displaystyle \quad dy=dy_{1}dy_{2}\dots dy_{n}}$.

Так как для области ${\displaystyle D(V)}$ возможно преобразование вида ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {z} +\mathbf {b} }$, где ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — произвольный вещественный вектор, то коэффициент ${\displaystyle \lambda }$ не зависит от ${\displaystyle x}$, то есть инвариантный элемент объёма в области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ имеет следующий вид^[10]:

${\displaystyle dv=\lambda (y)dxdy.}$

Кроме того, если ${\displaystyle \mathbf {y} \to \mathbf {Ay} }$ есть аффинное преобразование конуса ${\displaystyle V}$, то тогда ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} }$ — преобразование области ${\displaystyle D(V)}$, следовательно, имеем следующее равенство^[10]:

${\displaystyle \lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}=\lambda (\mathbf {y} )}$.

Математически интересны аналитически однородные области ${\displaystyle D(V)}$. Область ${\displaystyle D(V)}$ аналитически однородна, если конус ${\displaystyle V}$ линейно однороден, то есть для произвольных двух точек ${\displaystyle y_{1},\,y_{2}\in V}$ найдётся аффинное преобразование конуса ${\displaystyle V}$ на себя такое, что точка ${\displaystyle y_{1}}$ переходит в точку ${\displaystyle y_{2}}$. В таких областях инвариантный элемент объёма ${\displaystyle \lambda (\mathbf {y} )=\lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}}$^[10].

Предложение 1. Если ${\displaystyle V_{1}\in \mathbb {R} ^{n_{1}}}$, ${\displaystyle V_{2}\in \mathbb {R} ^{n_{2}}}$ — однородные конусы, то множество всех точек ${\displaystyle (y_{1},\,y_{2})}$, ${\displaystyle y_{1}\in V_{1}}$, ${\displaystyle y_{2}\in V_{2}}$, составляет однородный конус в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}}$^[10].

Неприводимый конус — конус, который нельзя разложить на два конуса как в предыдущем абзаце^[10].

Рассмотрим связь областей Зигеля 1-го рода с классическими областями — неприводимыми симметрическими типов I—IV, биголоморфно эквивалентными неприводимым конусам^[10].

Cоответствующие области Зигеля 1-го рода всех описанных ниже однородных конусов — симметрические^[11].

Пусть ${\displaystyle \mathbf {Y} =(y_{ks})}$ — комплексные эрмитовы матрицы порядка ${\displaystyle p}$. Произвольной матрице ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ поставим в соответствие точку пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p^{2}}}$ со следующими координатами^[10]:

${\displaystyle y_{11},\,\dots ,\,y_{pp},\,\operatorname {Re} y_{21},\,\operatorname {Im} y_{21},\,\dots ,\,\operatorname {Re} y_{p,\,p-1},\,\operatorname {Im} y_{p,\,p-1}.}$

Предложение 1. Множество точек в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p^{2}}}$, которые соответствуют только положительно определённым эрмитовым матрицам, составляют конус^[10]. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид

${\displaystyle \mathbf {Y} \to \mathbf {A} ^{*}\mathbf {Y} \mathbf {A} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ — эрмитово сопряжённая матрица матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$^[12].

Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество комплексных квадратных матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle p}$, где ${\displaystyle \mathbf {X} }$ — произвольная эрмитова, а ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ — положительно определённая эрмитова матрица^[12].

Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке ${\displaystyle \mathbf {Z} =i\mathbf {E} }$ имеет вид ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}}$^[12].

По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа I с условием ${\displaystyle p=q}$^[12].

Пусть ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ — комплексные эрмитовы матрицы порядка ${\displaystyle 2p}$ со следующими условиями^[12]:

${\displaystyle \mathbf {Y} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Y} }}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {j} \end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$.

Перепишем ${\displaystyle \mathbf {Y} =(\mathbf {y} _{ks})}$, ${\displaystyle k,\,s=1,\,\dots ,\,p}$, где ${\displaystyle \mathbf {y} _{ks}}$ — матрицы порядка 2. Тогда условия перепишутся в виде

${\displaystyle \mathbf {y} _{ks}^{*}=\mathbf {y} _{sk}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {y} _{ks}\mathbf {j} =\mathbf {j} {\bar {\mathbf {y} }}_{ks}}$,

откуда следуют соотношения

${\displaystyle \mathbf {y} _{kk}={\begin{pmatrix}u_{kk}&0\\0&u_{kk}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {y} _{ks}={\begin{pmatrix}u_{ks}&v_{ks}\\-{\bar {v}}_{ks}&{\bar {u}}_{ks}\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle k<s}$, ${\displaystyle \quad u_{ks}=a_{ks}+ib_{ks}}$, ${\displaystyle \quad v_{ks}=c_{ks}+id_{ks}}$,

где ${\displaystyle u_{kk}}$, ${\displaystyle a_{ks}}$, ${\displaystyle b_{ks}}$, ${\displaystyle c_{ks}}$, ${\displaystyle d_{ks}}$ — вещественные числа, которые можно принять за координаты^[12].

Предложение 1. Так построенные матрицы ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ образуют пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p(2p-1)}}$^[12].

Предложение 2. Множество точек ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p(2p-1)}}$, которые соответствуют только положительно определённым эрмитовым матрицам, составляют конус. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют следующий вид^[12]:

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} ^{*}\mathbf {Y} \mathbf {A} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка ${\displaystyle 2p}$, причём ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {A} }}}$. Построенный конус образован всеми положительно определёнными кватернионными матрицами^[13].

Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество комплексных квадратных матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle 2p}$, где

${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {X} }}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {X} ^{*}=\mathbf {X} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {Y} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Y} }}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {Y} ^{*}=\mathbf {Y} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {Y} >0}$,

другими словами, ${\displaystyle \mathbf {Z} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Z} }}}$ и матрица ${\displaystyle {\frac {1}{i}}(\mathbf {Z} -\mathbf {Z} ^{*})}$ положительно определена^[13].

Предложение 3. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке ${\displaystyle \mathbf {Z} =i\mathbf {E} }$ имеет вид ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}}$^[13].

По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа II с чётным ${\displaystyle p}$^[13].

Пусть ${\displaystyle \mathbf {Y} =(y_{ks})}$ — все вещественные симметрические матрицы порядка ${\displaystyle p}$. Произвольной матрице ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ поставим в соответствие точку пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p(p+1)/2}}$ со следующими координатами^[13]:

${\displaystyle y_{11},\,\dots ,\,y_{pp},\,y_{21},\,\dots ,\,y_{p,\,p-1}.}$

Предложение 1. Множество точек в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p(p+1)/2}}$, которые соответствуют только положительно определённым симметрическим матрицам, составляют конус. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} ^{T}\mathbf {Y} \mathbf {A} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}$ — транспонированная матрица матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$^[13].

Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество симметрических комплексных матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle p}$, где ${\displaystyle \mathbf {X} }$ — произвольная вещественная симметрическая матрица, а ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ — вещественная симметрическая положительно определённая матрица^[13].

Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке ${\displaystyle \mathbf {Z} =i\mathbf {E} }$ имеет вид ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}}$^[13].

По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа III. Обычно её называют обобщённой верхней полуплоскостью Зигеля^[13].

Пусть конус в вещественном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}(y_{1},\,\dots ,\,y_{n})}$ определяется следующими неравенствами^[13]:

${\displaystyle y_{1}y_{2}-y_{3}^{2}-\cdots -y_{n}^{2}>0}$, ${\displaystyle \quad y_{1}>0}$.

Предложение 1. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид

${\displaystyle \mathbf {y} \to \mathbf {A} \mathbf {y} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {A} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {A} =\lambda \mathbf {H} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0\end{matrix}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {E} \end{pmatrix}}}$

где ${\displaystyle \lambda }$ — произвольное положительное число^[11].

Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество всех точек ${\displaystyle z=x+iy}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, где ${\displaystyle x}$ — произвольное, а ${\displaystyle y}$ лежит на конусе.^[11].

Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке ${\displaystyle z=(i,\,i,\,0,\,\dots ,\,0)}$ имеет следующий вид^[11]:

${\displaystyle z=(z_{1},\,z_{2},\,z_{3},\,\dots ,\,z_{n})\to \left({\frac {-z_{2}}{\lambda (z)}},\,{\frac {-z_{1}}{\lambda (z)}},\,{\frac {z_{3}}{\lambda (z)}},\,\dots ,\,{\frac {z_{n}}{\lambda (z)}}\right),}$

${\displaystyle \lambda (z)=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}-\cdots -z_{n}^{2}.}$

По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа IV^[11].

Э. Винберг создал классификацию аффинно однородных конусов и нашёл все самосопряженные^[11].

Самосопряжённый конус — конус ${\displaystyle V}$ такой, что в объемлющем пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ можно найти положительно определённую квадратичную форму ${\displaystyle H(x,\,y)}$, удовлетворяющую двум следующим условиям^[11]:

• для всех ${\displaystyle x,\,y\in V}$ форма ${\displaystyle H(x,\,y)>0}$;
• при произвольном ${\displaystyle x\notin {\bar {V}}}$ найдётся такой ${\displaystyle y\in V}$, что ${\displaystyle H(x,\,y)<0}$, где ${\displaystyle {\bar {V}}}$ — замыкание конуса ${\displaystyle V}$^[11].

Предложение 1. Самосопряженный конус обладает двумя свойствами: выпуклый; не содержит целой прямой^[11].

Предложение 2. Существуют только четыре бесконечные серии неприводимых самосопряжённых аффинно однородных конусов типов I—IV и один неприводимый конус в 27-мерном пространстве. Этот конус можно реализовать с помощью эрмитовых матриц третьего порядка над числами Кэли^[11].

Э. Винберг нашёл примеры аффинно однородных, несамосопряженных, выпуклых и не содержащих целой прямой конусов. Простейший — множество всех симметрических положительно определенных матриц ${\displaystyle Y=(y_{ks})}$, ${\displaystyle y_{31}=y_{13}=0}$, порядка 3^[14].

Здесь будет определена область Зигеля 2-го рода и далее для таких исследованы проблемы, аналогичные рассмотренным для областей Зигеля 1-го рода^[15].

Простейший пример область Зигеля второго рода — это область в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} z-|u|^{2}>0}$,

где ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle u}$ — числовые комплексные переменные^[15].

Предложение 1. Эта область есть решение следующей задачи: отобразить шар в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}<1}$

в некоторую область ${\displaystyle D(V)\subset \mathbb {C} ^{2}}$ таким образом, чтобы любое преобразование шара, для которого заданная точка на границе шара неподвижна, было линейным преобразованием ${\displaystyle D(V)}$^[15].

Рассмотрим выпуклый конус ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}$^{[комм 1]}, которому не принадлежит никакая прямая, и функцию ${\displaystyle F(u,\,v)\colon \mathbb {C} ^{m}\to \mathbb {C} ^{n}}$, в общем случае ${\displaystyle m\neq n}$, и определим V-эрмитовые вектор-функции, обобщающие эрмитовы положительно определенные формы^[15].

V-эрмитова вектор-функция — вектор-функция ${\displaystyle F(u,\,v)}$, для которой выполнены четыре условия^[15]:

• ${\displaystyle F(u,\,v)={\overline {F(u,\,v)}};}$
• ${\displaystyle F(\lambda u_{1}+\mu u_{2},\,v)=\lambda F(u_{1},\,v)+\mu F(u_{2},\,v),}$ ${\displaystyle \lambda ,\,\mu }$ — произвольные комплексные числа;
• ${\displaystyle F(u,\,u)\in {\bar {V}},}$ ${\displaystyle {\bar {V}}}$ — замыкание конуса ${\displaystyle V}$;
• ${\displaystyle F(u,\,u)=0}$ только при ${\displaystyle u=0.}$

Область Зигеля 2-го рода — множество всех точек ${\displaystyle (z,\,u)\in \mathbb {C} ^{n+m}}$, для которых выполняется следующее условие^[16]:

${\displaystyle \operatorname {Im} z-F(u,\,u)\in V}$.

Предложение 1. Следующая область Зигеля 2-го рода в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m+1}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} z-|u_{1}|^{2}-|u_{2}|^{2}-\cdots -|u_{m}|^{2}>0}$,

где ${\displaystyle z,\,u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{m}}$ — числовые комплексные переменные, биголоморфно эквивалентна следующему шару^[16]:

${\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+\cdots +|z_{m+1}|^{2}<1}$.

Доказательство. Пусть

${\displaystyle z_{1}={\frac {z-i}{z+i}},\,z_{2}={\frac {2u_{1}}{z+i}},\,\dots ,\,z_{m+1}={\frac {2u_{m}}{z+i}}}$^{[комм 1]},

тогда

${\displaystyle 1-\sum _{k=1}^{m+1}|z_{k}|^{2}={\frac {4}{|z+i|^{2}}}(\operatorname {Im} z-|u_{1}|^{2}-\cdots -|u_{m}|^{2})>0}$^{[комм 1]},

следовательно, предложение доказано^[16]. □

Выше было показано, что произвольная область Зигеля 1-го рода принадлежит области, отображаемой на прямое произведение ${\displaystyle n}$ кругов. Докажем аналогичную теорему для произвольной области Зигеля 2-го рода^[16].

Теорема 1. Произвольная область Зигеля 2-го рода принадлежит области, отображаемой на прямое произведение ${\displaystyle n}$ шаров^[16].

Остов области Зигеля 2-го рода — та часть границы ${\displaystyle \partial D(V)}$ области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$, которая состоит из точек вида ${\displaystyle (z,\,u)}$, причём ${\displaystyle \operatorname {Im} z=F(u,\,u)}$^[7]. Заметим, что в отличие от области Зигеля 1-го рода вещественная размерность остова ${\displaystyle 3n}$ больше комплексной размерности ${\displaystyle 2n}$ всей области ${\displaystyle D(V)}$^[7].

Следующая теорема об автоморфизме остова аналогична теореме для области Зигеля 1-го рода^[7].

Теорема 1 (об автоморфизме остова). Остов области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$ инвариантен, то есть переходит сам в себя, при любом голоморфном автоморфизме области ${\displaystyle D(V)}$, непрерывном в замыкании области ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$, причём при произвольном голоморфном автоморфизме области ${\displaystyle D(V)}$ точка на остове отображается либо в некоторую точку на остове, либо в бесконечность^[7].

Доказательство. Доказательство теоремы основано на двух предложениях^[7]:

• любая голоморфная в замкнутой области ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$ функция, модуль которой имеет в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$ максимум, имеет по крайней мере одну точку максимума модуля на остове;
• для любой точки остова всегда найдётся функция, модуль которой достигает в ней максимума. □

Параллельный перенос области Зигеля 2-го рода — аналог параллельного переноса, задаваемый следующими двумя преобразованиями:

${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to u+b,\end{cases}}}$

где любые ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle b\in \mathbb {C} ^{m}}$^[7].

Предложение 1. Множество параллельных переносов области Зигеля второго рода есть нильпотентная группа класса 2 ${\displaystyle G}$, другими словами, её коммутант, то есть группа, порождённая элементами вида ${\displaystyle g_{1}g_{2}g_{1}^{-1}g_{2}^{-1}}$, ${\displaystyle g_{1},\,g_{2}\in G}$, абелева^[7].

Предложение 2. При параллельных переносах области Зигеля второго рода разность ${\displaystyle \operatorname {Im} z-F(u,\,u)}$^{[комм 1]} инвариантна. Любую точку ${\displaystyle (z,\,u)\in D(V)}$ параллельным переносом области Зигеля второго рода можно перевести в точку ${\displaystyle (iy,\,0)}$, где ${\displaystyle y=\operatorname {Im} z-F(u,\,u)}$^[7].

Линейные преобразования области Зигеля 2-го рода не ограничиваются только параллельным переносом^[7].

Теорема 1. Произвольное линейное преобразование области Зигеля 2-го рода задаётся следующими двумя преобразованиями^[7]:

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to Bu+b,\end{cases}}}$

где любые ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle b\in \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle A}$ — линейное преобразование конуса на себя, ${\displaystyle B}$ — комплексное линейное преобразование, ${\displaystyle AF(u,\,v)=F(Bu,\,Bv)}$ для любых ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$^[18].

Рассмотрим множество ${\displaystyle \Omega }$ всех линейных преобразований ${\displaystyle A}$ конуса ${\displaystyle V}$, которые продолжаются до линейных преобразований всей области Зигеля второго рода ${\displaystyle D(V)}$, другими словами, при некотором комплексном линейном преобразовании ${\displaystyle B}$ выполняется следующее равенство^[18]:

${\displaystyle AF(u,\,v)=F(Bu,\,Bv)}$^{[комм 1]}.

Предложение 1. Область Зигеля второго рода ${\displaystyle D(V)}$ однородна, если соответствующее множество ${\displaystyle \Omega }$ линейных преобразований транзитивно действует на конусе ${\displaystyle V}$^[19].

Пример. Приведём пример однородной области. Учтём, что область Зигеля второго рода однозначно определяется конусом ${\displaystyle V}$ и V-эрмитовой вектор-функцией ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )}$^[19].

Рассмотрим конус ${\displaystyle V}$ эрмитовых положительно определённых матриц ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle p}$. Для простоты и удобства пространство определения V-эрмитовой вектор-функции ${\displaystyle F}$ реализуем (смоделируем) как пространство размерности ${\displaystyle ps}$ всех комплексных прямоугольных матриц ${\displaystyle \mathbf {U} }$ размера ${\displaystyle p\times s}$. Теперь функцию ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )}$ можно определить простой формулой

${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )=\mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}}$,

то есть функция ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )}$ есть квадратная матрица порядка ${\displaystyle p}$, причём эрмитова матрица ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {U} )\in {\bar {V}}}$^[19].

Предложение 2. Все аффинные преобразования конуса ${\displaystyle V}$ образуют группу ${\displaystyle \Omega }$ всех его линейных преобразований^[19].

Доказательство. В построенном пространстве для его аффинных преобразований вида ${\displaystyle \mathbf {U} \to \mathbf {B} \mathbf {U} }$, где ${\displaystyle B}$ — произвольная невырожденная квадратная матрица порядка ${\displaystyle p}$, получаем^[19]:

${\displaystyle F(\mathbf {B} \mathbf {U} ,\,\mathbf {B} \mathbf {V} )=\mathbf {B} \mathbf {U} (\mathbf {B} \mathbf {V} )^{*}=\mathbf {B} \mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}\mathbf {B} ^{*}=\mathbf {B} F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )\mathbf {B} ^{*}.}$

Завершая доказательство, приведём вид всех аффинных^{[комм 1]} преобразований конуса ${\displaystyle V}$^[19]:

${\displaystyle \mathbf {Y} \to \mathbf {B} \mathbf {Y} \mathbf {B} ^{*}}$,

${\displaystyle AF(U,\,V)=F(BU,\,BV).}$

Предложение 3. Построенная область симметрическая, а следовательно, однородная^[19].

Доказательство. Инволюция

${\displaystyle (\mathbf {Z} ,\,\mathbf {U} )=(-\mathbf {Z} ^{-1},\,-i\mathbf {Z} ^{-1}\mathbf {U} )}$

имеет единственную неподвижную точку ${\displaystyle (-i\mathbf {E} ,\,\mathbf {0} )}$^[19].

Найдём формулу инвариантного элемента объёма ${\displaystyle dv}$ в области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$. Пусть

${\displaystyle dv=\lambda (x,\,y,\,u_{1},\,u_{2})dxdydu_{1}du_{2},}$

где

${\displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$, ${\displaystyle \quad dy=dy_{1}dy_{2}\dots dy_{n}}$,

${\displaystyle u_{1}=\operatorname {Re} u}$, ${\displaystyle \quad u_{2}=\operatorname {Im} u}$, ${\displaystyle \quad du_{1}}$ и ${\displaystyle du_{2}}$ обозначают произведения соответствующих дифференциалов координат^[19].

Поскольку область Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$ имеет автоморфизмы вида

${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to u+b,\end{cases}}}$

то имеем следующее равенство^[19]:

${\displaystyle \lambda =\lambda (\mathbf {y} -F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {U} ))}$.

Кроме того, если у области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$ имеется голоморфный автоморфизм

${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {u} \to \mathbf {Bu} }$,

то тогда получаем^[20]:

${\displaystyle \lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}(\det \mathbf {B} )^{2}=\lambda (\mathbf {y} )}$.

Отсюда для аффинной однородной области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$ определяется коэффициент ${\displaystyle \lambda (\mathbf {y} )}$ с точностью до числового множителя^[20].

Здесь будет определена область Зигеля 3-го рода и исследованы некоторые её свойства. Такие области были созданы по той причине, что в ${\displaystyle n}$-мерном комплексном пространстве граница области неоднородна, то есть состоит из аналитические «кусочков» разных размерностей^[21].

В теории автоморфных функций от нескольких комплексных переменных большое значение имеет предельный переход такой, что точка внутри области стремится к граничной точке, которая лежит на некотором аналитическом «кусочке». Области Зигеля 3-го рода применяются при исследовании такого предельного перехода^[21].

Пусть дана скалярная форма, то есть форма, принимающая числовые значения, ${\displaystyle L(u,\,v)}$ от пары векторов ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$^[21].

Полуэрмитова, или скалярная полуэрмитова, форма — скалярная форма ${\displaystyle L(u,\,v)}$, которая представляется в виде

${\displaystyle L_{0}(u,\,v)+L_{1}(u,\,v),}$

где ${\displaystyle L_{0}(u,\,v)}$ — эрмитова форма, ${\displaystyle L_{1}(u,\,v)}$ — симметричная билинейная форма^[21].

Предложение 1. Полуэрмитова форма ${\displaystyle L(u,\,v)}$ имеет следующие свойства^[21]:

• ${\displaystyle L(u,\,v)}$ по первому аргументу комплексно линейна, по второму — вещественно линейна;
• разность ${\displaystyle L(u,\,v)-L(v,\,u)}$ чисто мнимая.

Справедливо обратное утверждение^[21].

Теорема 1. Форма с указанными в предложении 1 свойствами полуэрмитова^[21].

Предложение 2. Представление полуэрмитовой формы как суммы эрмитовой и симметричной билинейной формы единстванно^[22].

Векторная полуэрмитова форма — векторная форма, каждая компонента которой есть скалярная полуэрмитова форма^[22].

Невырожденная полуэрмитова форма — полуэрмитова форма ${\displaystyle L(u,\,v)}$, обладающая следующим свойством: если при всех ${\displaystyle u}$ имеет место равенство ${\displaystyle L(u,\,v_{0})=0}$, то ${\displaystyle v_{0}=0}$^[22].

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — ограниченная область в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}(t)}$, и любому ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ поставлена в соответствие невырожденная полуэрмитова форма ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$ на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, а ${\displaystyle V}$, как и в случае области Зигеля 1-го рода, — открытый выпуклый конус в вещественном ${\displaystyle n}$-мерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, причём пересечение конуса ${\displaystyle V}$ с произвольной прямой пространства есть либо отрезок, либо полупрямая^[22].

Область Зигеля 3-го рода — множество ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ всех точек ${\displaystyle w=(z,\,u,\,t)\in \mathbb {C} ^{N}}$, ${\displaystyle N=n+m+t}$, для которых выполняется следующие два условия^[22]:

• ${\displaystyle \operatorname {Im} z-\operatorname {Re} L_{t}(u,\,u)\in V,}$ ${\displaystyle \quad t\in {\mathcal {D}},}$^{[комм 1]}
• множество ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ биголоморфно эквивалентно некоторой ограниченной области.

Пример 1. Простейший нетривиальный пример области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ состоит в следующем. Положим ${\displaystyle m=n=k=1}$, ограниченная область ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — единичный круг ${\displaystyle |t|<1}$ на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (x,\,y)}$, конус ${\displaystyle V}$ — полупрямая ${\displaystyle y>0}$, и пусть невырожденная полуэрмитова форма определена следующим образом^[23]:

${\displaystyle L_{t}(u,\,v)=(1-|t|^{2})^{-1}u{\bar {v}}+{\bar {t}}(1-|t|^{2})^{-1}uv.}$

Так определённая область ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ биголоморфно эквивалентна некоторой классической области типа III^[23].

Предложение 1. Произвольную область Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ можно преобразовывать следующим образом:

${\displaystyle z\to z+a}$, ${\displaystyle \quad u\to u}$, ${\displaystyle \quad t\to t}$,

где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ — любое^[23].

Биголоморфная вектор-функция ${\displaystyle c(t)}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ согласована с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$, когда форма ${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))}$ есть биголоморфная функция от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ при произвольном ${\displaystyle u}$^[23].

Предложение 2. Множество всех согласованных с заданной формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$ вектор-функций есть линейное пространство над полем вещественных чисел^[23].

Пример 1. Продолжим пример 1 из предыдущкго раздела. Положим ${\displaystyle c(t)=c-t{\bar {c}}}$, где ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$. Получим^[23]:

${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))=u{\bar {c}}.}$

Пример демонстрирует, что если биголоморфная вектор-функция ${\displaystyle c(t)}$ согласована с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$, то функция ${\displaystyle c_{1}(t)=ic(t)}$ в общем случае не согласована^[23].

Значение и роль описанных выше согласованных вектор-функций определяются следующей теоремой^[23].

Теорема 1. Рассмотрим не обязательно биголоморфную вектор-функцию ${\displaystyle c(t)}$ на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$. Для этой вектор-функции следующее преобразование

${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ — любой вектор, есть^[23]:

• биекция области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ на себя;
• биголоморфное отображение тогда и только тогда, когда функции ${\displaystyle c(t)}$ и ${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))}$ биголоморфны от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ для произвольного ${\displaystyle u}$.

Предложение 3. Рассмотрим биголоморфную в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ вектор-функцию ${\displaystyle c(t)}$, согласованную с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$. Из свойства 4 вытекает, что для произвольного ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ если ${\displaystyle c(t_{0})=0}$, то ${\displaystyle c(t)=0}$^[6].

Доказательство. Рассмотрим преобразование

${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle c(t)}$ — данная вектор-функция и ${\displaystyle a=0}$. Из свойства 4 вытекает, что это преобразование тривиально, то есть ${\displaystyle c(t)\equiv 0}$^[6].

Из этого доказательства также следует, что размерность ${\displaystyle \mu }$ линейного пространства вектор-функций ${\displaystyle c(t)}$, согласованных с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$ и биголоморфных в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, не больше ${\displaystyle 2m}$. В дальнейшем в этой статье всегда ${\displaystyle \mu =2m}$^[6].

Параллельный перенос области Зигеля 3-го рода — аналог параллельного переноса, задаваемый следующими тремя преобразованиями:

${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ — любой вектор^[24].

Предложение 1. Множество параллельных переносов области Зигеля 3-го рода составляет группу ${\displaystyle \Delta }$. Как и в случае областей Зигеля 2-го рода, группа ${\displaystyle \Delta }$ есть нильпотентная группа класса 2. Группу ${\displaystyle \Delta }$ можно представить в виде множества пар ${\displaystyle (c,\,a)}$, где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{\mu }}$, а ${\displaystyle \mu }$ — размерность пространства всех вектор-функций, согласованных с данной формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$^[24].

Форма

${\displaystyle Q(c_{1},\,c_{2})=i(L_{t}(c_{1}(t),\,c_{2}(t))-L_{t}(c_{2}(t),\,c_{1}(t)))}$

для произвольных фиксированных ${\displaystyle c_{1}(t)}$ и ${\displaystyle c_{2}(t)}$ биголоморфна по ${\displaystyle t}$ и всегда вещественна, так как разность ${\displaystyle L(u,\,v)-L(v,\,u)}$ чисто мнимая, и поэтому форма ${\displaystyle Q(c_{1},\,c_{2})}$ не зависит от ${\displaystyle t}$^[24].

Предложение 2. Формула

${\displaystyle (c_{1},\,a_{1})\times (c_{2},\,a_{2})=(c_{1}+c_{2},\,a_{1}+a_{2}+Q(c_{1},\,c_{2}))}$

задаёт закон композиции группы ${\displaystyle \Delta }$^[24].

Предложение 3. Из свойства 5 следует, что группа ${\displaystyle \Delta }$ — нормальный делитель в группе всех квазилинейных преобразований области Зигеля 3-го рода^[25].

Исследования областей Зигеля 1-го и 2-го рода основаны в том числе на группе их линейных преобразований. Но для областей Зигеля 3-го рода линейные преобразования заменяются на квазилинейные^[26].

Квазилинейное преобразование области Зигеля 3-го рода — биекция области Зигеля ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ вида

${\displaystyle {\begin{cases}z\to A(t)z+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t),\\\end{cases}}}$

где ${\displaystyle A(t)}$ и ${\displaystyle B(t)}$ — биголоморфные в области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ матричные функции, ${\displaystyle a(u,\,t)}$ и ${\displaystyle b(t)}$ — биголоморфные в области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ векторные функции, ${\displaystyle t\to g(t)}$ — голоморфный автоморфизм области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$^[26].

Приведём два общих свойства голоморфных автоморфизмов ограниченных областей, которые понадобятся при рассмотрении квазилинейных преобразований области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$^[26]:

(A) голоморфный автоморфизм ограниченной области, имеющей неподвижную точку, полностью определён матрицей Якоби в этой точке^[27] (используется при доказательстве свойства 5^[25]);

(B) последовательность голоморфных автоморфизмов ограниченной области компактна (то есть имеется подпоследовательность, сходящаяся в области) при наличии хотя бы одной точки, последовательность образов которой компактна в этой области^[28] (используется при доказательстве свойства 2^[29] и свойства 4^[6]).

Рассмотрим следующий голоморфный автоморфизм ${\displaystyle \varphi _{\lambda }}$ области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$:

${\displaystyle z\to \lambda ^{2}z}$, ${\displaystyle \quad u\to \lambda u}$, ${\displaystyle \quad t\to t}$,

где ${\displaystyle \lambda \in R}$ — любое. Наличие семейства голоморфных автоморфизмов вида ${\displaystyle \varphi _{\lambda }}$ закономерно для областей Зигеля 3-го рода^[26].

Свойство 1. У любого квазилинейного преобразования

${\displaystyle {\begin{cases}z\to A(t)z+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t),\end{cases}}}$

области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ матрица ${\displaystyle A(t)}$ не зависит от ${\displaystyle t}$. Линейное преобразование ${\displaystyle y\to Ay}$ есть биекция конуса ${\displaystyle V}$ на себя^[26].

Свойство 2. Любая компонента вектора : ${\displaystyle a(u,\,t)}$ есть многочлен от ${\displaystyle u}$ не выше степени 2 с коэффициентами, которые могут зависеть от ${\displaystyle t}$^[29].

Свойство 3. Наряду с квазилинейным преобразованием

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t),\end{cases}}}$

следующее преобразование

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to g(t)\end{cases}}}$

есть голоморфный автоморфизм области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$, где ${\displaystyle a_{2}(u,\,t)}$ — множество членов степени 2 в многочлене ${\displaystyle a(u,\,t)}$^[29].

Свойство 4. Рассмотрим точку ${\displaystyle t_{0}\in {\mathcal {D}}}$. Пусть ${\displaystyle \operatorname {Re} a(0,\,t_{0})=0}$ и ${\displaystyle b(t_{0})=0}$, тогда ${\displaystyle a(u,\,t)}$ включает по ${\displaystyle u}$ только члены степени 2^[6].

Свойство 5. Квазилинейное преобразование при ${\displaystyle A=E}$, ${\displaystyle B(t)\equiv E}$, ${\displaystyle g(t)\equiv t}$ есть параллельный перенос области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$^[6], другими словами, это преобразование состоит в группе ${\displaystyle \Delta }$^[6].

Свойство 6. Рассмотрим преобразование

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle a_{2}(u,\,t)}$ — однородная форма степени 2 по ${\displaystyle u}$. Это преобразование есть голоморфный автоморфизм области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle L_{t}(B(t)u,\,B(t)v)=AL_{t}(u,\,v)}$

для произвольных ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$, причём ${\displaystyle a_{2}(u,\,t)\equiv 0}$^[25].

Рассмотрим несколько достаточных условий аналитической однородности области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$^[30].

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — множество всех линейных преобразований ${\displaystyle y\to Ay}$ конуса ${\displaystyle V}$ на себя, таких, что каждое имеет биголоморфную в области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ матричную функцию ${\displaystyle B(t)}$, что

${\displaystyle L_{t}(B(t)u,\,B(t)v)=AL_{t}(u,\,v)}$

для произвольных ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$^[30].

И пусть ${\displaystyle G}$ — множество всех голоморфных автоморфизмов ${\displaystyle g(t)}$ области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, таких, что каждое имеет^[30]:

• биголоморфную в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ матричную функцию ${\displaystyle B(t)}$;
• симметричную билинейную векторную форму ${\displaystyle K_{t}(u,\,v)}$ от пары векторов ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, аналитически зависящую от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$, причём выражение

${\displaystyle K_{t}(u,\,u)+L_{g(t)}(B(t)u,\,B(t)u)-L_{t}(u,\,u)}$^{[комм 1]}

чисто мнимое для произвольных ${\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$.

Теорема 1. Область Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ аналитически однородна при двух условиях^[30]:

• группа ${\displaystyle \Omega }$ транзитивна в конусе ${\displaystyle V}$;
• группа ${\displaystyle G}$ транзитивна в области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} Исправленная опечатка в источнике.

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Винберг Э. Б. Зигеля область, 1979.
2. ↑ ^{1 2} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, Введение, с. 10.
3. ↑ Siegel C. L. Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades, 1939.
4. ↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, Глава 1. Области Зигеля, с. 13.
5. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 14.
6. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 32.
7. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 2. Области Зигеля 2-го рода, с. 23.
8. ↑ ^{1 2 3 4 5} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 15.
9. ↑ Левин Б. Я. Распределение корней целых функций, 1956, § 2. Представление функции, гармонической в полуплоскости, с. 299.
10. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 16.
11. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 19.
12. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 17.
13. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 18.
14. ↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 20.
15. ↑ ^{1 2 3 4 5} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 20.
16. ↑ ^{1 2 3 4 5} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 2. Области Зигеля 2-го рода, с. 21.
17. ↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 2. Области Зигеля 2-го рода, с. 21—23.
18. ↑ ^{1 2 3} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 2. Области Зигеля 2-го рода, с. 24.
19. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 2. Области Зигеля 2-го рода, с. 25.
20. ↑ ^{1 2} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 2. Области Зигеля 2-го рода, с. 26.
21. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 26.
22. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 27.
23. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 28.
24. ↑ ^{1 2 3 4 5} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 29.
25. ↑ ^{1 2 3 4 5} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 33.
26. ↑ ^{1 2 3 4 5} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 30.
27. ↑ Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных. Т. 2, 1963, § 20. Множества голоморфных отображений, с. 340.
28. ↑ Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных. Т. 2, 1963, § 20. Множества голоморфных отображений, с. 339.
29. ↑ ^{1 2 3 4 5} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 31.
30. ↑ ^{1 2 3 4 5} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 3. Области Зигеля 3-го рода, с. 34.

• Винберг Э. Б. Зигеля область // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2 Д—Коо. — Стб. 455—456. — 1104 стб., ил. — 148 800 экз.
• Левин Б. Я. Распределение корней целых функций (рус.). — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. — 632 с., ил.
• Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций (рус.). — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1961. — 191 с. — (Современные проблемы математики). — 5000 экз.
• Фукс Б. А.. Теория аналитических функций многих комплексных переменных (рус.). Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. — 2-е изд, перераб. и доп. — М.: Физматлит, 1963. — Т. 2. — 427 с. — 8500 экз.
• Jacques Faraut, Soji Kaneyuki, Ádám Korányi, Qi-keng Lu, Guy Roos. Analysis and geometry on complex homogeneous domains (англ.). — New York: Springer Science+Business Media, LLC, 2000. — XII+540 p. — (Progress in mathematics (Boston, Mass.); v. 185). — ISBN 1-58488-448-7. — ISBN 978-1-4612-1366-6 (eBook). — doi:10.1007/978-1-4612-1366-6.
• Soji Kaneyuki. Homogeneous Bounded Domains and Siegel Domains (англ.) / adviser: E. Vesentini. — Berlin · Heidelberg · New York: Springer-Verlag, 1971. — V+89 p. — (Scuola Normale Supenore, Plsa). — ISBN 3-540-05702-1. — ISBN 0-387-05702-1.
• Siegel C. L. Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades (нем.) // Mathematische Annalen : журнал. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1939. — Bd. 116. — P. 617—657.
• Nikolaj Tschebotareff. Über die Realität Nullstellen ganzer transzendenter Funktionen (нем.) // Mathematische Annalen : журнал. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1928. — Bd. 99. — P. 660—656.