Лемма Чеботарёва

Сразу получаем из условия леммы и принципа симметрии, что ${\displaystyle \operatorname {Im} f(z)\leqslant 0}$ при ${\displaystyle \operatorname {Im} z\leqslant 0}$. Кроме того, приращение аргумента комплексного числа ${\displaystyle \operatorname {Arg} f(z)}$ на произвольной окружности не превышает ${\displaystyle 2\pi }$, следовательно, у функции ${\displaystyle f(z)}$ не более одного вещественного корня ${\displaystyle x_{0}}$.

Сконструируем функцию

${\displaystyle \varphi (z)={\frac {f(z)}{z-x_{0}}}}$,

у которой нет ни одного корня, причём главное значение её аргумента ${\displaystyle |\operatorname {arg} \varphi (z)|\leqslant \pi }$ на всей комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$. Тогда целая функция ${\displaystyle w(z)=\ln \varphi (z)}$ переводит всю комплексную плоскость на полосу ${\displaystyle |\operatorname {Im} w|\leqslant \pi }$.

Отсюда следует, что, поскольку функция ${\displaystyle u(z)={\frac {1}{w(z)-2\pi i}}}$ ограничена на всей комплексной плоскости, ${\displaystyle |u(z)|\leqslant \pi }$, то получаем по теореме Лиувилля следующую цепочку тождеств^[4]:

${\displaystyle u(z)\equiv \mathrm {const} }$, ${\displaystyle \quad w(z)\equiv \mathrm {const} }$, ${\displaystyle \quad \varphi (z)\equiv \mathrm {const} }$.