Обратная функция

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции ${\displaystyle f}$ обычно обозначается ${\displaystyle f^{-1}}$, иногда также используется обозначение ${\displaystyle f^{\mathrm {inv} }}$.

Функция, имеющая обратную, называется обратимой.

Функция ${\displaystyle g:Y\to X}$ называется обратной к функции ${\displaystyle f:X\to Y}$, если выполнены следующие тождества:

• ${\displaystyle f(g(y))=y}$ для всех ${\displaystyle y\in Y;}$
• ${\displaystyle g(f(x))=x}$ для всех ${\displaystyle x\in X.}$

• Функция ${\displaystyle g:Y\to X}$ называется левой обратной к функции ${\displaystyle f:X\to Y}$, если ${\displaystyle g(f(x))=x}$ для всех ${\displaystyle x\in X}$.
• Функция ${\displaystyle g:Y\to X}$ называется правой обратной к функции ${\displaystyle f:X\to Y}$, если ${\displaystyle f(g(y))=y}$ для всех ${\displaystyle y\in Y}$^[1].

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение ${\displaystyle y=f(x)}$ относительно ${\displaystyle x}$. Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к ${\displaystyle f}$ не существует. Таким образом, функция ${\displaystyle f(x)}$ обратима на интервале ${\displaystyle (a;b)}$ тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции ${\displaystyle F(y)}$ выразить ${\displaystyle y}$ из уравнения ${\displaystyle x-F(y)=0}$ возможно в том и только том случае, когда функция ${\displaystyle F(y)}$ строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ является обратной функцией к ${\displaystyle x^{2}}$ на ${\displaystyle [0,+\infty )}$, хотя на промежутке ${\displaystyle (-\infty ,0]}$ обратная функция другая: ${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$.

Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция ${\displaystyle y=x+D(x),}$ где ${\displaystyle D(x)}$ — функция Дирихле, разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует^[2]: ${\displaystyle x=y-D(y).}$

• Если ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}}$, где ${\displaystyle a>0,a\neq 1,}$ то ${\displaystyle F^{-1}(x)=\log _{a}x.}$
• Если ${\displaystyle F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R} }$, где ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ фиксированные постоянные и ${\displaystyle a\neq 0}$, то ${\displaystyle F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.}$
• Если ${\displaystyle F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z} }$, то ${\displaystyle F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.}$

• Областью определения ${\displaystyle F^{-1}}$ является множество ${\displaystyle Y}$, а областью значений — множество ${\displaystyle X}$.
• По построению имеем:

${\displaystyle y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)}$

или

${\displaystyle F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y}$,

${\displaystyle F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X}$,

или короче

${\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}}$,

${\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}}$,

где ${\displaystyle \circ }$ означает композицию функций, а ${\displaystyle \mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}}$ — тождественные отображения на ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ соответственно.

• Такое отображение ${\displaystyle G\colon \,Y\to X}$, что ${\displaystyle F\circ G=\mathrm {id} _{Y}}$ («обратное справа»), называется сечением отображения ${\displaystyle F}$.

• Функция ${\displaystyle F}$ является обратной к ${\displaystyle F^{-1}}$:

${\displaystyle \left(F^{-1}\right)^{-1}=F}$.

• Пусть ${\displaystyle F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R} }$ — биекция. Пусть ${\displaystyle F^{-1}:Y\to X}$ её обратная функция. Тогда графики функций ${\displaystyle y=F(x)}$ и ${\displaystyle y=F^{-1}(x)}$ симметричны относительно прямой ${\displaystyle y=x}$.
• Также, если у функции ${\displaystyle f(x)}$ есть обратная ей ${\displaystyle f^{-1}(x)}$, то графики этих функций будут симметричны относительно линии ${\displaystyle y=x}$.

Теорема. Композиция любых двух обратимых функций является обратимой функцией, то есть ${\displaystyle {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}}$.

Доказательство

Поскольку ${\displaystyle \alpha \circ {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\circ \alpha =e}$ и ${\displaystyle \alpha \circ e=e\circ \alpha =\alpha }$ для любой обратимой функции ${\displaystyle \alpha }$, где ${\displaystyle e}$ — тождественное преобразование, то можно записать следующие равенства. Имеем: ${\displaystyle e=e\Longleftrightarrow e=f\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=f\circ g\circ g^{-1}\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=\left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right).}$ Подействуем слева функцией ${\displaystyle {\left(f\circ g\right)}^{-1}}$ и получим: ${\displaystyle {\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \mid e=\left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ e={\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}=e\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.}$ Теорема доказана.

Это утверждение легко запомнить так: «Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше».

Обратная функция аналитической в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ функции может быть представлена в виде степенного ряда:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},}$

где функции ${\displaystyle A_{k}}$ задаются рекурсивной формулой:

${\displaystyle A_{n}(x)={\begin{cases}x\;,\;n=0\\{\frac {A_{n-1}'(x)}{f'(x)}}\;,\;n>0\end{cases}}}$

• Теорема Лагранжа об обращении рядов
• Обратные тригонометрические функции
• Обратимая функция