Обратная функция ошибок

Обратная функция ошибок (англ. inverse error function) — специальная функция, определяемая как обратная функция к функции ошибок ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$. Обозначается ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)}$ или ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)}$.

Обратная дополнительная функция ошибок, обозначаемая ${\displaystyle \operatorname {inverfc} (x)}$, аналогично определяется как обратная к дополнительной функции ошибок и связана с ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)}$ следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {inverfc} (x)=\operatorname {inverf} (1-x)}$^[1].

Пробит-функция (англ. probit) — обратная функция к функции распределения стандартного нормального распределения ${\displaystyle {\mathfrak {N}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]\,}$^[2][3], поэтому

${\displaystyle \operatorname {probit} (x)={\mathfrak {N}}^{-1}(x)={\sqrt {2}}\operatorname {inverf} (2x-1)}$.

Вещественная обратная функция ошибок определена при ${\displaystyle -1<x<1}$ и является нечётной функцией^[1].

${\displaystyle y=\operatorname {inverf} (x)}$ является решением нелинейного дифференциального уравнения ${\displaystyle y''-2y(y')^{2}=0}$ при начальных условиях ${\displaystyle y(0)=0}$ и ${\displaystyle y'(0)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$. Эта функция также удовлетворяет нелинейному дифференциально-интегральному уравнению ${\displaystyle y'(x)\int \limits _{0}^{x}y(t)\,dt=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}y'(x)}$^[4].

Производная обратной функции ошибок равна ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {inverf} (x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{\operatorname {inverf} ^{2}(x)}}$, а первообразная — ${\displaystyle \int \operatorname {inverf} (x)\,dx=-{\frac {e^{-\operatorname {inverf} ^{2}(x)}}{\sqrt {\pi }}}}$. Кроме того, известны следующие определённые интегралы:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\operatorname {inverf} (x)\,dx={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\ln \operatorname {inverf} (x)\,dx=-{\frac {\gamma }{2}}-\ln 2}$^[5].

Ряд Маклорена для обратной функции ошибок имеет следующий вид:

${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{2n+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2n+1}}$, где ${\displaystyle c_{n}=\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {c_{k}c_{n-1-k}}{(k+1)(2k+1)}}}$ и ${\displaystyle c_{0}=1}$^[5].

Числителям и знаменателям коэффициентов ${\displaystyle {\frac {c_{n}}{2n+1}}}$ в несокращённом виде соответствуют последовательность A002067 в OEIS и последовательность A007019 в OEIS соответственно. Будучи сокращёнными, они же образуют последовательность A092676 в OEIS и последовательность A092677 в OEIS^[5].

Для старших производных обратной функции ошибок в точке ${\displaystyle x=0}$ также верно следующее соотношение:

${\displaystyle d_{n+1}={\sqrt {\pi }}\sum \limits _{k=0}^{n-1}C_{n}^{k+1}d_{k}d_{n-k}}$ при условиях ${\displaystyle d_{0}=0}$ и ${\displaystyle d_{1}={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$, где ${\displaystyle d_{n}={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\operatorname {inverf} (x){\Bigg |}_{x=0}}$^[6].

При ${\displaystyle n\to \infty }$ асимптотически ${\displaystyle {\frac {d_{n}}{n!}}\sim {\frac {1+(-1)^{n-1}}{2n{\sqrt {\ln n}}}}}$^[7].

При ${\displaystyle x\to 1}$ функция представима асимптотическим рядом: ${\displaystyle (\operatorname {inverf} (x))^{2}\sim \eta -{\frac {1}{2}}\ln \eta +\eta ^{-1}\left({\frac {1}{4}}\ln \eta -{\frac {1}{2}}\right)+\eta ^{-2}\left({\frac {1}{16}}\ln ^{2}\eta -{\frac {3}{8}}\ln \eta +{\frac {7}{8}}\right)+\eta ^{-3}\left({\frac {1}{48}}\ln ^{3}\eta -{\frac {7}{32}}\ln ^{2}\eta +{\frac {17}{16}}\ln \eta -{\frac {107}{48}}\right)+\eta ^{-4}\left({\frac {1}{128}}\ln ^{4}\eta -{\frac {23}{192}}\ln ^{3}\eta +{\frac {29}{32}}\ln ^{2}\eta -{\frac {31}{8}}\ln \eta +{\frac {1489}{192}}\right)+\cdots }$, где ${\displaystyle \eta =-\ln[{\sqrt {\pi }}(1-x)]}$^[8].

Кроме того, при ${\displaystyle x\to 1^{-}}$ верно ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)\sim {\sqrt {{\frac {1}{2}}W\left({\frac {2}{\pi (x-1)^{2}}}\right)}}}$, где ${\displaystyle W(z)}$ — W-функция Ламберта^[9].

Пусть ${\displaystyle y=\operatorname {inverfc} (x)}$ и ${\displaystyle t={\frac {1}{y}}}$, а также

${\displaystyle G(y)={\sqrt {\pi }}e^{y^{2}}\operatorname {erfc} (y)={\cfrac {t}{1+{\cfrac {\frac {t^{2}}{2}}{1+{\cfrac {2{\frac {t^{2}}{2}}}{1+{\cfrac {3{\frac {t^{2}}{2}}}{1+\ldots }}}}}}}}}$

${\displaystyle F(x,y)={\frac {G(y)}{{\sqrt {\pi }}x}}}$.

Тогда ${\displaystyle y^{2}=\ln F(x,y)}$. Это соотношение может быть использовано для итеративного приближённого вычисления ${\displaystyle y}$ в области малых ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle y_{n+1}={\sqrt {\ln F(x,y_{n})}}}$, где за начальное значение можно взять ${\displaystyle y_{0}={\sqrt {-\ln \left[{\sqrt {\pi }}x{\sqrt {-\ln x}}\right]}}}$^[10][11].

Обратная функция ошибок используется при численном решении уравнений диффузии и уравнений Эйнштейна для скалярного поля, а также вычислении химических потенциалов^[12].

Одномерное уравнение диффузии вида ${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial \theta }{\partial x}}\right)}$ с начальным условием ${\displaystyle \theta =\theta _{n},t=0,x>0}$ и граничным условием ${\displaystyle \theta =\theta _{0},x=0,t\geq 0}$, где ${\displaystyle D}$ является однозначной функцией ${\displaystyle \theta }$, обычно решается приближёнными численными методами^[13]. Однако при ${\displaystyle \theta }$, достаточно близких к ${\displaystyle \theta _{n}}$, изменение функции ${\displaystyle D}$ можно считать малым^[14].

Пусть интервал от ${\displaystyle \theta _{0}}$ до ${\displaystyle \theta _{n}}$ разбит на ${\displaystyle n}$ равных частей длиной ${\displaystyle \delta \theta }$, и ${\displaystyle \theta _{r}=\theta _{0}-r\delta \theta }$. Тогда на отрезке ${\displaystyle [\theta _{n};\theta _{n-1}]}$ функцию ${\displaystyle D}$ можно заменить константой ${\displaystyle {\overline {D}}_{n-{\frac {1}{2}}}={\frac {\int \limits _{\theta _{n}}^{\theta _{n-1}}D\,d\theta }{\int \limits _{\theta _{n}}^{\theta _{n-1}}\,d\theta }}={\frac {1}{\delta \theta }}\int \limits _{\theta _{n}}^{\theta _{n}+\delta \theta }D\,d\theta }$. В таком случае исходное уравнение сведётся к

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\overline {D}}_{n-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\theta _{n-1},x=\phi _{n-1}{\sqrt {t}}}$

${\displaystyle \theta \to \theta _{n},x\to \infty }$.

Оно имеет точное решение в виде ${\displaystyle \phi =2{\sqrt {{\overline {D}}_{n-{\frac {1}{2}}}}}\operatorname {inverfc} \left({\frac {\theta -\theta _{n}}{\delta \theta }}\operatorname {erfc} \left({\frac {\phi _{n-1}}{2{\sqrt {{\overline {D}}_{n-{\frac {1}{2}}}}}}}\right)\right)}$, где ${\displaystyle \phi ={\frac {x}{\sqrt {t}}}}$^[15].

В языке Wolfram обратная функция ошибок вызывается через InverseErf[s], где ${\displaystyle s}$ — произвольный вещественный аргумент от –1 до 1. Кроме того, InverseErf[s, z0] возвращает функцию, обратную к ${\displaystyle s=\operatorname {erf} (z)-\operatorname {erf} (z_{0})}$^[16].

Библиотека boost/math для C++ содержит функцию erf_inv(T p, const Policy&), первый аргумент которой соответствует аргументу ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)}$, а второй, необязательный, указывает точность вычисления и способ обработки исключений^[17].

Библиотека SciPy для Python также содержит реализацию ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)}$, она называется erfinv(y, out=None). Первый аргумент обязателен и должен содержать значение или список значений аргумента ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)}$, а второй опционален и может содержать список, в который будут помещены значения функции ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)}$. Эта функция является обёрткой для функции erf_inv() из boost/math для C++^[18].

• Philip, J. R. (1955). Numerical solution of equations of the diffusion type with diffusivity concentration-dependent. Transactions of the Faraday Society. 51: 885—892. doi:10.1039/TF9555100885.
• Carlitz, L. (1963). The inverse of the error function (PDF). Pacific Journal of Mathematics. 13 (2): 459—470. Дата обращения: 28 сентября 2025.
• Strecok, Anthony J. (Январь 1968). On the Calculation of the Inverse of the Error Function. Mathematics of Computation. 22 (101). American Mathematical Society: 144—158. doi:10.2307/2004772. Дата обращения: 28 сентября 2025.
• Fettis, Henry E. (Апрель 1974). A stable algorithm for computing the inverse error function in the "tail-end" region. Mathematics of Computation. 28 (126). American Mathematical Society: 585—587. doi:10.2307/2005933. Дата обращения: 28 сентября 2025.
• Corrigenda (PDF). Mathematics of Computation. 29 (130). American Mathematical Society: 673—674. Апрель 1975. doi:10.2307/2005607. Дата обращения: 28 сентября 2025.
• Blair, J. M.; Edwards, C. A.; Johnson, J. H. (Октябрь 1976). Rational Chebyshev Approximations for the Inverse of the Error Function. Mathematics of Computation. 30 (136). American Mathematical Society: 827—830. doi:10.2307/2005402. Дата обращения: 28 сентября 2025.
• Dominici, Diego E. (2003). The inverse of the cumulative standard normal probability function. Integral Transforms and Special Functions. 14 (4). Taylor & Francis: 281—292. doi:10.1080/1065246031000081698. Дата обращения: 28 сентября 2025.
• Dominici, Diego. Some properties of the inverse error function  (январь 2008). doi:10.1090/conm/457/08910. Дата обращения: 28 сентября 2025.