Параболическая система координат

Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.

Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла.

Двумерные параболические координаты ${\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}$ определяются выражениями

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=\sigma \tau \\y={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2})\end{matrix}}\right.}$

Поверхности постоянной ${\displaystyle \sigma }$ являются конфокальными параболами

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

расширяющимися вверх (вдоль луча ${\displaystyle +y}$), а поверхности постоянной ${\displaystyle \tau }$ — это конфокальные параболы

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

расширяющиеся вниз (вдоль луча ${\displaystyle -y}$). Фокусы всех парабол расположены в начале координат.

Коэффициенты Ламэ для параболических координат равны

${\displaystyle H_{\sigma }=H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}.}$

Таким образом, элемент площади равен

${\displaystyle dS=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau ,}$

а лапласиан равен

${\displaystyle \Delta \Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).}$

Прочие дифференциальные операторы могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

На основе двумерных параболических координат строятся два типа трёхмерных координат. Первые получаются простым проектированием на плоскость ${\displaystyle XY}$ вдоль оси ${\displaystyle z}$ и называются цилиндрические параболические координаты.

Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии

${\displaystyle {\begin{cases}x=\sigma \tau \cos \varphi ,\\y=\sigma \tau \sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2}).\end{cases}}}$

Ось параболоидов совпадает с осью ${\displaystyle z}$, так как вокруг неё производится вращение. Азимутальный угол ${\displaystyle \varphi }$ определяется как

${\displaystyle \mathrm {tg} \,\varphi ={\frac {y}{x}}.}$

Поверхности постоянной ${\displaystyle \sigma }$ являются конфокальными параболоидами

${\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

направленными вверх (вдоль луча ${\displaystyle +z}$), а поверхности постоянной ${\displaystyle \tau }$ — это конфокальные параболоиды

${\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

направленные вниз (вдоль луча ${\displaystyle -z}$). Фокусы всех параболоидов расположены в начале координат.

Коэффициенты Ламэ в трёхмерном случае:

${\displaystyle H_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},}$

${\displaystyle H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},}$

${\displaystyle H_{\varphi }=\sigma \tau .}$

Как видно, коэффициенты ${\displaystyle H_{\sigma }}$ и ${\displaystyle H_{\tau }}$ совпадают с двумерным случаем. Элемент объёма равен

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }=\sigma \tau (\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi ,}$

а лапласиан равен

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}.}$

Прочие дифференциальные операторы, такие как дивергенция или ротор могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Символы Кристоффеля второго рода:

${\displaystyle \Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=-\Gamma _{22}^{1}={\frac {\sigma }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},}$

${\displaystyle \Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{12}^{1}=\Gamma _{21}^{1}=-\Gamma _{11}^{2}={\frac {\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},}$

${\displaystyle \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}={\frac {1}{\tau }},\ \Gamma _{33}^{1}=-{\frac {\sigma \tau ^{2}}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {\sigma ^{2}\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{\sigma }}.}$

Остальные символы равны нулю.

Переход от декартовых координат ${\displaystyle (x,\;y,\;z)}$ к параболическим ${\displaystyle (\eta ,\;\xi ,\;\varphi )}$ осуществляется по формулам:

${\displaystyle {\begin{cases}\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\xi =z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}},\end{cases}}}$

при этом ${\displaystyle \eta \geqslant 0,\quad \xi \geqslant 0.}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&-1+{\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&1+{\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}.}$

При ${\displaystyle \varphi =0}$ получаем ограничение координат на плоскость ${\displaystyle XZ}$:

${\displaystyle \eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},}$

${\displaystyle \xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}.}$

Линия уровня ${\displaystyle \eta =c}$:

${\displaystyle z|_{\eta =c}={\frac {x^{2}}{2c}}-{\frac {c}{2}}.}$

Это парабола, фокус которой при любом ${\displaystyle c}$ расположен в начале координат.

Аналогично при ${\displaystyle \xi =c}$ получаем

${\displaystyle z|_{\xi =c}={\frac {c}{2}}-{\frac {x^{2}}{2c}}.}$

Координатные параболы пересекаются в точке

${\displaystyle P:\left({\sqrt {bc}},\;{\frac {b-c}{2}}\right).}$

Пара парабол пересекается в двух точках, но при ${\displaystyle \varphi =0}$ точка оказывается заключена в полуплоскости ${\displaystyle x>0}$, так как ${\displaystyle x<0}$ соответствует ${\displaystyle \varphi =\pi }$.

Найдём коэффициенты наклоны касательных к параболам в точке ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle {\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\frac {\sqrt {bc}}{c}}={\sqrt {\frac {b}{c}}}=s_{c},}$

${\displaystyle {\frac {dz_{b}}{dx}}=-{\frac {x}{b}}={\frac {-{\sqrt {bc}}}{b}}=-{\sqrt {\frac {c}{b}}}=s_{b};}$

${\displaystyle s_{c}s_{b}=-{\sqrt {\frac {b}{c}}}{\sqrt {\frac {c}{b}}}=-1.}$

Так как произведение коэффициентов равно −1, то параболы перпендикулярны в точке пересечения. Таким образом, параболические координаты оказываются ортогональными.

Пара ${\displaystyle (\xi ;\;\eta )}$ определяет координаты в полуплоскости. При изменении ${\displaystyle \varphi }$ от 0 до ${\displaystyle 2\pi }$ полуплоскость вращается вокруг оси ${\displaystyle z}$, в качестве координатных поверхностей получаются параболоиды вращения и полуплоскости. Пара противоположных параболоидов определяет круг, а величина ${\displaystyle \varphi }$ определяет полуплоскость, пересекающую круг в единственной точке. Её декартовы координаты равны:

${\displaystyle {\begin{cases}x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi ,\\y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2}}(\xi -\eta ).\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{\eta }}}\cos \varphi &{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\cos \varphi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi \\{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{\eta }}}\sin \varphi &{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\sin \varphi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi \\-{\dfrac {1}{2}}&{\dfrac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}.}$

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.