Плоскость Муфанг
Плоскость Муфанг, названная в честь Рут Муфанг, — это тип проективной плоскости, а точнее, особый тип плоскости переноса. Плоскость переноса — это проективная плоскость, имеющая прямую переноса, то есть прямую, обладающую свойством: группа автоморфизмов, фиксирующая каждую точку прямой, действует транзитивно на точки плоскости, не лежащие на этой прямой. Плоскость переноса называется плоскостью Муфанг, если каждая её прямая является прямой переноса[1].
Характеристики
Плоскость Муфанг можно также описать как проективную плоскость, в которой справедлива малая теорема Дезарга[2]. Эта теорема утверждает, что ограниченная форма теоремы Дезарга справедлива для каждой прямой в плоскости. Например, каждая дезаргова плоскость является плоскостью Муфанг[3].
В алгебраических терминах проективная плоскость над любым альтернативным телом является плоскостью Муфанг,[4] и это дает взаимно-однозначное соответствие между классами изоморфизма альтернативных тел и плоскостей Муфанг.
Как следствие алгебраической теоремы Артина-Цорна, согласно которой каждое конечное альтернативное тело является полем, каждая конечная плоскость Муфанг является дезарговой, но некоторые бесконечные плоскости Муфанг являются недезарговыми. В частности, плоскость Кэли, бесконечная проективная плоскость Муфанг над октонионами, является одной из них, поскольку октонионы не образуют тело[5].
Характеристики
Следующие условия на проективной плоскости P эквивалентны:
- P — это плоскость Муфанг.
- Группа автоморфизмов, фиксирующих все точки любой заданной прямой, действует транзитивно на точки, не лежащие на этой прямой.
- Некоторое тройное кольцо плоскости является альтернативным делением.
- P изоморфна проективной плоскости над альтернативным телом.
Также, в плоскости Муфанг:
- Группа автоморфизмов действует транзитивно на четырёхугольниках[6] .
- Любые два тернарных кольца плоскости изоморфны.
См. также
- Лупа Муфанг
- Полигон Муфанг
Примечания
- ↑ Hughes & Piper, 1973, p. 101
- ↑ Pickert, 1975, p. 186
- ↑ Hughes & Piper, 1973, p. 153
- ↑ Hughes & Piper, 1973, p. 139
- ↑ Weibel, Charles (2007), Survey of Non-Desarguesian Planes, Notices of the AMS, vol. 54, no. 10, pp. 1294—1303, Архивировано 5 марта 2019, Дата обращения: 29 сентября 2025
- ↑ Stevenson, 1972, p. 392 Stevenson refers to Moufang planes as alternative planes.
Ссылки
- Hughes, Daniel R.; Piper, Fred C. (1973), Projective Planes, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Pickert, Günter (1975), Projektive Ebenen (Zweite Auflage ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-07280-2
- Stevenson, Frederick W. (1972), Projective Planes, W.H. Freeman & Co., ISBN 0-7167-0443-9
Дальнейшее чтение
- Tits, Jacques; Weiss, Richard M. (2002), Moufang polygons, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43714-7, MR 1938841