Пятиугольник (решётка)

Пятиугольник, или пентагон (от др.-греч. πεντάγωνον — пятиугольник^[1]), ${\displaystyle N_{5}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{5}}$ (англ. pentagon^[2]) — абстрактная алгебраическая решётка из 5 элементов с диаграммой Хассе, показанной справа^[3][4].

Эту решётку можно построить, например, на множестве ${\displaystyle \{1,\,2,\,3,\,4\}}$ и его трёх подмножествах ${\displaystyle a=\{3,\,4\}}$, ${\displaystyle b=\{2,\,3,\,4\}}$, ${\displaystyle c=\{1,\,2\}}$ с обычными отношениями включения и равенства множеств. Эта решётка — наименьшая немодулярная, так как три её средние элемента ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ не отвечают модулярному закону. Действительно^[3]: ${\displaystyle a\subseteq b}$, но

${\displaystyle a+(b\cdot c)=a\neq b=b\cdot (a+c)}$.

Описания пятиугольника ${\displaystyle N_{5}}$

${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 0}$		${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle 0}$		${\displaystyle b}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle b}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a}$		${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle c}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$		${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
Таблицы сложения и умножения

Диаграмма Эйлера

${\displaystyle {}-\!\!\!\langle \,=\{\langle 0,\,a\rangle ,\langle 0,\,c\rangle ,\langle a,\,b\rangle ,\langle b,\,1\rangle ,\langle c,\,1\rangle \}}$

Отношение покрываемости

Пятиугольник ${\displaystyle N_{5}}$ — единственная пятиэлементная немодулярная решётка. Более того, ${\displaystyle N_{5}}$ есть подрешётка произвольной немодулярной решётки, другими словами, это наименьшая немодулярная решётка^[5].

Две пятиэлементные решётки, пятиугольник ${\displaystyle N_{5}}$ и ромб ${\displaystyle M_{3}}$, — типичные примеры недистрибутивной решётки, которые играют важную роль в теории решёток^[4].

• Неизоморфные диаграммы Хассе решёток с 5 элементами
• Само­двой­ст­вен­ная
• Пяти­у­голь­ник ${\displaystyle N_{5}}$^[3][6]. Само­двой­ст­вен­ная
• Ромб ${\displaystyle M_{3}}$^[7][6]. Самодвой­ственная
• Двой­ст­вен­ная сле­ду­ю­щей
• Двой­ст­вен­ная пре­ды­ду­щей

Решётка модулярна тогда и только тогда, когда пятиугольник ${\displaystyle N_{5}}$ в ней не содержится, то есть не изоморфен какой-либо подрешётке^[8][3].

Решётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда ни пятиугольник ${\displaystyle N_{5}}$, ни ромб ${\displaystyle M_{3}}$ в ней не содержатся, то есть они не изоморфны каким-либо подрешёткам^[4][9].

1. ↑ Пентагон, 1988.
2. ↑ George Grätzer. General Lattice Theory, 1978, Chapter II. Distributive Lattices. 1. Characterization Theorems and Representation Theorems, p. 59.
3. ↑ ^{1 2 3 4} Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями, 1984, Глава первая. § 3. Модулярные решётки. 3, с. 30.
4. ↑ ^{1 2 3} Гретцер Г. Общая теория решёток, 1982, Глава II. Дистрибутивные решетки. § 1. Теоремы характеризации и теоремы представления, с. 87.
5. ↑ Биркгоф Г. Теория решёток, 1984, Глава I. Типы решёток. 7. Модулярность, с. 27.
6. ↑ ^{1 2} Гуров С. И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решётки: определения, свойства, примеры, 2013, 4.1 Решёточно упорядоченные множества и решётки, с. 128.
7. ↑ Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями, 1984, Глава первая. § 3. Модулярные решётки. 5, с. 32.
8. ↑ Гретцер Г. Общая теория решёток, 1982, Глава IV. Модулярные и полумодулярные решётки. § 1. Модулярные решётки, с. 212.
9. ↑ Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями, 1984, Глава первая. § 3. Модулярные решётки. 3, с. 34.

• Биркгоф Г. Теория решёток = Garrett Birkhoff, Lattice theory (1967) (рус.) / Перевёл с англ. В. Н. Салий под ред. Л. А. Скорнякова. — М.: «Наука», 1984. — 566 с.: ил. — 9400 экз.
• Гретцер Г.. Общая теория решёток = George Grätzer. General Lattice Theory (1978) (рус.) / Пер. с англ. А. Д. Больбота, В. А. Горбунова и В. И. Туманова под ред. Д. М. Смирнова. — М.: «Мир», 1982. — 452 с.: ил. — 6000 экз.
• Гуров С. И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решётки: определения, свойства, примеры (рус.). — 2-е изд. — М.: URSS : Книжный дом «Либроком», 2013. — 221 с., ил. — (Основы защиты информации. Секретно для пользы = Secreto ad utilitatem). — ISBN 978-5-397-03899-7.
• Пентагон // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 453. — 847 с., ил. — 148 900 экз.
• Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями (рус.). — М.: «Наука», 1984. — 128 с., ил. — 4400 экз.
• George Grätzer. General Lattice Theory (англ.). — New York · San Francisco: Academic Press, 1978. — xiii+381 p. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 0-12-295750-4.