Ряд Кемпнера

Ряд Кемпнера (англ. Kempner series^{[1][2]:31–33}) — модификация гармонического ряда, образованная из него путём удаления всех членов, знаменатель которых, будучи выраженным в десятичной системе счисления, содержит цифру 9.

Обозначается ${\displaystyle {\sideset {}{'}\sum _{n=1}^{\infty }}{\frac {1}{n}}}$, где штрих указывает на то, что ${\displaystyle n}$ принимает только те значения, в десятичной записи которых нет девяток. Ряд был впервые изучен О. Дж. Кемпнером в 1914 году^[3]. Свойства этого ряда контринтуитивны^[1], поскольку, в отличие от гармонического ряда, он сходится. Кемпнер доказал, что сумма этого ряда меньше 90. Бейли^[4] вычислил, что с точностью до 20 знаков после запятой эта сумма равна 22,92067661926415034816 (последовательность A082838 в OEIS).

Сходимость ряда можно наглядно обосновать тем, что большинство больших целых чисел содержат все цифры от 0 до 9. Например, случайное 100-значное целое число, скорее всего, содержит по крайней мере одну цифру «9», что исключает соответствующее слагаемое из данной суммы.

Шмельцер и Бейли^[5] нашли эффективный алгоритм для решения более общей задачи о любой удаляемой последовательности цифр. Например, сумма ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$, где ${\displaystyle n}$ не содержит ни одного вхождения «42», равна примерно 228,44630415923081325415. Другой пример: сумма ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$, где в ${\displaystyle n}$ не встречается строки «314159» — примерно 2302582,33386378260789202376 (с округлением до последней цифры).

Доказательство сходимости, представленное Кемпнером^[3], используется в некоторых учебниках, например, у Харди и Райта^[6]:120, а также приводится в качестве упражнения у Апостола^[7]:212. Слагаемые группируются по количеству цифр в знаменателе. Число n-значных натуральных чисел, в которых ни одна цифра не равна «9», равно ${\displaystyle 8\cdot 9^{n-1}}$, поскольку существует 8 способов (от 1 до 8) выбрать первую цифру и по 9 независимых способов (от 0 до 8) для каждой из остальных ${\displaystyle n-1}$ цифр. Каждое из этих n-значных чисел, не содержащих «9», больше или равно ${\displaystyle 10^{n-1}}$, поэтому обратная величина к каждому из них меньше или равна ${\displaystyle 10^{1-n}}$. Следовательно, вклад этой группы в сумму обратных величин меньше, чем ${\displaystyle 8\cdot \left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}}$. Тогда вся сумма обратных чисел равна не более, чем ${\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80}$.

Такое же обоснование применимо и к любой другой ненулевой цифре, удаляемой из суммы. Число n-значных натуральных чисел, в которых нет «0», равно ${\displaystyle 9^{n}}$, поэтому сумма ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$, где ${\displaystyle n}$ не содержит цифры «0», равна не более чем ${\displaystyle 9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90}$.

• Постоянная Эйлера — Маскерони