Гармонический ряд

Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots }$.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: ${\displaystyle k}$-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной ${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$ от длины исходной струны^[1]. Кроме того, каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов.

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма бесконечна (ряд расходится). Частичная сумма n первых членов гармонического ряда называется n-м гармоническим числом:

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

Разность между ${\displaystyle n}$-м гармоническим числом и натуральным логарифмом ${\displaystyle n}$ сходится к постоянной Эйлера — Маскерони ${\displaystyle \gamma =0{,}5772...}$.

Разность между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме ${\displaystyle H_{1}=1}$, не является целым: ${\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\notin \mathbb {N} }$^[2].

${\displaystyle n}$	Гармонический ряд		Приближение ${\displaystyle }$
	${\displaystyle H_{n}}$ (дробь)	${\displaystyle H_{n}}$ (десятичная запись)	${\displaystyle \ln n}$	${\displaystyle \ln n+\gamma }$
1	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0,57721...}$
2	${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle 1,5}$	${\displaystyle \approx 0,69315}$	${\displaystyle \approx 1,27036}$
3	${\displaystyle {\frac {11}{6}}}$	${\displaystyle \approx 1,83333}$	${\displaystyle \approx 1,09861}$	${\displaystyle \approx 1,67583}$
4	${\displaystyle {\frac {25}{12}}}$	${\displaystyle \approx 2,08333}$	${\displaystyle \approx 1,38629}$	${\displaystyle \approx 1,96351}$
5	${\displaystyle {\frac {137}{60}}}$	${\displaystyle \approx 2,28333}$	${\displaystyle \approx 1,60944}$	${\displaystyle \approx 2,18665}$
6	${\displaystyle {\frac {49}{20}}}$	${\displaystyle 2,45}$	${\displaystyle \approx 1,79176}$	${\displaystyle \approx 2,36898}$
7	${\displaystyle {\frac {363}{140}}}$	${\displaystyle \approx 2,59285}$	${\displaystyle \approx 1,94591}$	${\displaystyle \approx 2,52313}$
8	${\displaystyle {\frac {761}{280}}}$	${\displaystyle \approx 2,71786}$	${\displaystyle \approx 2,07944}$	${\displaystyle \approx 2,65666}$
9	${\displaystyle {\frac {7129}{2520}}}$	${\displaystyle \approx 2,82897}$	${\displaystyle \approx 2,19722}$	${\displaystyle \approx 2,77444}$
10	${\displaystyle {\frac {7381}{2520}}}$	${\displaystyle \approx 2,92897}$	${\displaystyle \approx 2,30258}$	${\displaystyle \approx 2,8798}$
100		${\displaystyle \approx 5,18737}$	${\displaystyle \approx 4,60517}$	${\displaystyle \approx 5,18238}$
10${\displaystyle ^{3}}$		${\displaystyle \approx 7.48547}$	${\displaystyle \approx 6,90776}$	${\displaystyle \approx 7,48497}$
10${\displaystyle ^{6}}$		${\displaystyle \approx 14,39273}$	${\displaystyle \approx 13,81551}$	${\displaystyle \approx 14,39273}$

В 1740 году Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых ${\displaystyle n}$ членов ряда:

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +\varepsilon _{n}}$,

где ${\displaystyle \gamma =0{,}5772...}$ — постоянная Эйлера — Маскерони, а ${\displaystyle \ln }$ — натуральный логарифм.

При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ значение ${\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0,}$ следовательно, для больших ${\displaystyle n}$

${\displaystyle H_{n}\approx \ln n+\gamma }$ — формула Эйлера для суммы первых ${\displaystyle n}$ членов гармонического ряда.

Пример использования формулы Эйлера

${\displaystyle n}$	${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$	${\displaystyle \ln n+\gamma }$	${\displaystyle \varepsilon _{n}}$, (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

${\displaystyle H_{n}\asymp \ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}\dots =\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k\,n^{2k}}},}$ где ${\displaystyle B_{2k}}$ — числа Бернулли.

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Гармонический ряд расходится: ${\displaystyle s_{n}\rightarrow \infty }$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty ,}$ однако очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1.5*10⁴³ элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его со следующим телескопическим рядом, который получается из логарифмирования ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e}$:

${\displaystyle v_{n}=\ln(n+1)-\ln n=\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)<{\frac {1}{n}}.}$

Частичная сумма этого ряда, очевидно, равна ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}=\ln(n+1).}$ Последовательность таких частичных сумм расходится; следовательно, по определению телескопический ряд расходится, но тогда из признака сравнения рядов следует, что гармонический ряд тоже расходится.

Рассмотрим последовательность ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.}$ Покажем, что эта последовательность не является фундаментальной, то есть, что ${\displaystyle \exists \varepsilon >0:\forall k\in \mathbb {N} \ \exists n>k,\exists p\in \mathbb {N} :\left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert \geq \varepsilon .}$ Оценим разность ${\displaystyle \left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert ={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}\geq {\frac {1}{n+p}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}={\frac {p}{n+p}}.}$ Пусть ${\displaystyle p\doteq n.}$ Тогда ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\left\vert H_{2n}-H_{n}\right\vert \geq {\frac {1}{2}}.}$ Следовательно, данная последовательность не является фундаментальной и по критерию Коши расходится. Тогда по определению ряд также расходится.

Доказательство расходимости можно построить, если сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, в котором знаменатели дополнены до степени двойки. Этот ряд группируется, и получается третий ряд, который расходится:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}}$

(Группировка сходящихся рядов всегда дает сходящийся ряд, а значит если после группировки получился ряд расходящийся, то и исходный тоже расходится.)

Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Обобщённым гармоническим рядом (частный случай ряда Дирихле) называют ряд^[4]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}+\cdots }$.

Этот ряд расходится при ${\displaystyle \alpha \leqslant 1}$ и сходится при ${\displaystyle \alpha >1}$^[4].

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка ${\displaystyle \alpha }$ равна значению дзета-функции Римана:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=\zeta (\alpha )}$

Для целых чётных показателей это значение явно выражается через число пи — например, сумма ряда обратных квадратов ${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$. Но уже для α=3 его значение (константа Апери) аналитически неизвестно.

Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение ${\displaystyle \zeta (1+{\frac {1}{n}})\sim n.}$

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots }$

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:

${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.}$

Эта формула — частный случай ряда Меркатора, то есть ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \;\;=\;\;{\frac {\pi }{4}}.}$

Это соотношение известно как ряд Лейбница.

В 2003 году изучены^[5][6] свойства случайного ряда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$

где ${\displaystyle s_{n}}$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2, имеет значение:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642…,

отличаясь от ⅛ на менее чем 10⁻⁴².

См. Ряд Кемпнера

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшийся ряд сходится, и его сумма меньше 80^[7]. Позже была найдена более точная оценка, ряд Кемпнера сходится к ${\displaystyle 22{,}92067661926415034816}$ (последовательность A082838 в OEIS). Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Из этого можно сделать ошибочное заключение о сходимости исходного гармонического ряда, что не верно, поскольку с ростом разрядов в числе ${\displaystyle n}$ всё меньше слагаемых берётся для суммы «истончённого» ряда. То есть, в конечном счёте отбрасывается подавляющее большинство членов, образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.