Ряд из натуральных чисел

Ряд из натуральных чисел — числовой ряд (бесконечная сумма элементов), членами которого являются последовательные натуральные числа: ${\displaystyle 1+2+3+4+\ldots }$; при этом n-я частичная сумма ряда является треугольным числом:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}},}$

которое неограниченно растёт при стремлении ${\displaystyle n}$ к бесконечности. Из-за того, что последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела, ряд расходится, то есть не имеет конечной суммы.

Из-за расходимости ряд не имеет никакой значимой ценности для традиционных математических подходов. Но при некотором уровне манипулирования можно получить нетривиальные результаты, находящие применение в комплексном анализе, квантовой теории поля^[1] и теории струн^[2].

В математике существуют методы суммирования, которые позволяют присвоить определённые числовые значения (конечные) даже расходящимся рядам. Одним из таких способов является метод, основанный на регуляризации аналитического продолжения дзета-функции Римана. Другим популярным вариантом является суммирование по методу Рамануджана^[3]. Многие из подобных методов присваивают ряду одинаковое значение в виде отрицательной дроби:

${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}$

Частичными суммами натурального ряда являются 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. Таким образом, n-я частичная сумма выражается формулой

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Это выражение было известно ещё Пифагору в VI веке до нашей эры^[4]. Числа такого вида называются треугольными, так как они могут быть представлены в виде треугольника.

Бесконечная последовательность треугольных чисел стремится к ${\displaystyle +\infty }$ и, следовательно, бесконечная сумма натурального ряда также стремится к ${\displaystyle +\infty }$. Такой результат является следствием невыполнения необходимого условия сходимости числового ряда.

В сравнении с другими классическими расходящимися рядами, натуральному ряду сложнее приписать имеющее смысл некоторое конечное числовое значение. Существует множество методов суммирования, некоторые из которых являются более устойчивыми и мощными. Так, например, суммирование по Чезаро является широко известным методом, который суммирует умеренно расходящийся ряд Гранди 1 − 1 + 1 − 1 + … и приписывает ему конечное значение 1/2. Суммирование методом Абеля представляет собой более мощный метод, который, кроме ряда Гранди, позволяет также суммировать более сложный знакочередующийся ряд натуральных чисел и присвоить ему значение 1/4.

В отличие от упомянутых выше рядов, как суммирование по Чезаро, так и метод Абеля неприменимы к натуральному ряду. Эти методы работают только со сходящимися и гармоническими рядами и не могут быть использованы для ряда, частичные суммы которого стремятся к +∞^[5]. Большинство элементарных определений суммы расходящегося ряда являются линейными и устойчивыми, а любой линейный и устойчивый метод не может присвоить натуральному ряду конечное значение.

Следовательно, для этого случая возможно применение только специальных методов, таких как регуляризация дзета-функцией или суммирование Рамануджана.

В главе 8 первого сборника своих трудов Рамануджан показал, что «1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12», используя два способа^[6][7][8]. Ниже излагается более простой метод, состоящий из двух этапов.

Первое ключевое наблюдение состоит в том, что ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … похож на знакочередующийся ряд натуральных чисел 1 − 2 + 3 − 4 + …. Несмотря на то, что этот ряд также является расходящимся, с ним намного проще работать. Существует несколько классических способов присвоить конечное значение этому ряду, известных ещё с XVIII века.^[9]

Для того, чтобы привести ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … к виду 1 − 2 + 3 − 4 + …, мы можем вычесть 4 из второго члена, 8 из четвёртого члена, 12 из шестого и т. д. Общая величина, которую нужно вычесть, выражается рядом 4 + 8 + 12 + 16 + …, который получается умножением исходного ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … на 4. Эти выражения можно записать в алгебраической форме. Что бы из себя ни представляла «сумма», введём для неё обозначение c = 1 + 2 + 3 + 4 + …, умножим полученное уравнение на 4 и вычтем второе из первого:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots ,\\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots ,\\-3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots .\end{alignedat}}}$

Второе ключевое наблюдение заключается в том, что ряд 1 − 2 + 3 − 4 + … является разложением в степенной ряд функции 1/(1 + x)² при x, равном 1. Соответственно, Рамануджан заключает:

${\displaystyle -3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}$

Поделив обе части на −3, получаем c = −1/12.

Строго говоря, существует неоднозначность при работе с бесконечными рядами в случае использования методов, предназначенных для конечных сумм (наподобие тех методов, что были использованы выше), в особенности если эти бесконечные ряды расходятся. Неоднозначность заключается в том, что если вставить ноль в любое место в расходящемся ряде, существует вероятность получить противоречивый результат. Например, действие 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + … противоречит свойствам сложения.

Одним из способов обойти эту неопределённость и тем самым ограничить позиции, куда можно вставить ноль, является присвоение каждому члену ряда значения некоторой функции.^[10] Для ряда 1 + 2 + 3 + 4 + …, каждый член n представляет собой натуральное число, которое может быть представлено в виде функции n^−s, где s — некоторая комплексная переменная. Используя такое представление, можно гарантировать, что все члены ряда последовательны. Таким образом, присвоив s значение −1, можно выразить рассматриваемый ряд в строгом виде. Реализация этого способа носит название регуляризации дзета-функцией.

В De seriebus divergentibus Эйлер упоминает ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … наряду с расходящимся геометрическим рядом 1 + 2 + 4 + 8 + …. Он намекает, что ряды этого типа могут иметь конечные, отрицательные суммы в специальном смысле, и объясняет, что это значит для геометрических рядов, но не возвращается к детальному обсуждению 1 + 2 + 3 + 4 + ….

Современная интерпретация, связывающая 1 + 2 + 3 + 4 + … с −1/12, основана на аналитическом продолжении дзета-функции, где ζ(−1) = −1/12. Однако Эйлер, по-видимому, не использовал этот результат явно, сосредоточившись на других методах, таких как разложения функций и геометрические интерпретации. Его утверждение о «конечных, отрицательных суммах» для некоторых расходящихся рядов указывает на попытки интерпретировать такие объекты в нетрадиционном контексте, что стало важным шагом к развитию современной теории рядов и функций.

В этом методе, ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n}$ заменяется рядом ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}}$. Последний ряд является частным случаем ряда Дирихле. Если действительная часть s больше 1, ряд Дирихле сходится, и его сумма представляет собой дзета-функцию Римана ζ(s). С другой стороны, если действительная часть s меньше или равна 1, ряд Дирихле расходится. В частности, ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ..., который получается подстановкой s = −1, не является сходящимся. Преимущества перехода к дзета-функции Римана заключается в том, что, используя метод аналитического продолжения, она может быть определена для s ⩽ 1. Следовательно, мы можем получить значение регуляризованной дзета-функции ζ(−1) = −1/12.

Существует несколько способов доказать, что ζ(−1) = −1/12. Один из методов^[11] использует связь между дзета-функцией Римана и эта-функцей Дирихле η(s). Эта-функция выражается знакопеременным рядом Дирихле, согласуясь тем самым с ранее представленными эвристическими предпосылками. Тогда как оба ряда Дирихле сходятся, следующие тождества верны:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots ,&\\2\cdot 2^{-s}\zeta (s)&{}={}&2\cdot 2^{-s}&&{}+2\cdot 4^{-s}&&{}+2\cdot 6^{-s}+\cdots ,&\\(1-2^{1-s})\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s).\end{alignedat}}}$

Тождество ${\displaystyle (1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)}$ остаётся справедливым если мы продолжим обе функции аналитически в область значений s, где вышезаписанные ряды расходятся. Подставляя s = −1, получим −3ζ(−1) = η(−1). Отметим, что вычисление η(−1) является более простой задачей, так как значение эта-функции выражается значением суммы Абеля соответствующего ряда^[12] и представляет собой односторонний предел:

${\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\nearrow 1}(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots )=\lim _{x\nearrow 1}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}$

Поделив обе части выражения на −3, получаем ζ(−1) = −1/12.

Суммирование ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... методом Рамануджана также позволяет получить значение −1/12. В своём втором письме к Х. Г. Харди, датированном 27 февраля 1913, Рамануджан пишет^[13]:

Уважаемый Сэр, я с большим удовольствием прочёл ваше письмо от 8 февраля 1913 года. Я ожидал, что вы ответите мне в том же стиле, что и профессор математики из Лондона, который посоветовал мне внимательно изучить «Бесконечные ряды» Томаса Бромвича и не попадать в ловушку, которую таят расходящиеся ряды. … Я ответил ему, что, согласно моей теории, сумма бесконечного числа членов ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... = −1/12. Узнав это, вы сию же минуту укажете в направлении психиатрической лечебницы. Уверяю, вы не сможете проследить нить рассуждений в моём доказательстве этого факта, если я попытаюсь изложить их в единственном письме.

Метод суммирования Рамануджана заключается в изолировании постоянного члена в формуле Эйлера — Маклорена для частичных сумм ряда. Для некоторой функции f, классическая сумма Рамануджана для ряда ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f(k)}$ определена как

${\displaystyle c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0),}$

где f^(2k−1) представляет собой (2k−1)-ю производную функции f и B_2k является 2k-м числом Бернулли: B₂ = 1/6, B₄ = −1/30 и т. д. Принимая f(x) = x, первая производная f равна 1, а все остальные члены стремятся к нулю, поэтому:^[14]

${\displaystyle c=-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2!}}=-{\frac {1}{12}}.}$

Для избежания противоречий современная теория метода суммирования Рамануджана требует, чтобы функция f являлась «регулярной» в том смысле, что её производные высших порядков убывают достаточно быстро для того, чтобы оставшиеся члены в формуле Эйлера — Маклорена стремились к 0. Рамануджан неявно подразумевал это свойство.^[14] Требование регулярности помогает избежать использования метода суммирования Рамануджана для рядов типа 0 + 2 + 0 + 4 + … потому, что не существует регулярной функции, которая выражалась бы значениями такого ряда. Такой ряд должен интерпретироваться с использованием регуляризации дзета-функцией.

Линейный и устойчивый метод суммирования не в состоянии присвоить конечное значение ряду 1 + 2 + 3 + … (Устойчивый означает, что добавление члена в начало ряда увеличивает сумму ряда на величину этого члена.) Это утверждение может быть продемонстрировано следующим образом. Если

1 + 2 + 3 + … = x,

тогда, добавляя 0 к обеим частям, получаем

0 + 1 + 2 + … = 0 + x = x,

исходя из свойства устойчивости. Вычитая нижний ряд из верхнего, получаем

1 + 1 + 1 + … = x − x = 0,

исходя из свойства линейности. Добавляя 0 к обеим частям повторно, получаем

0 + 1 + 1 + 1 + … = 0

и вычитая два последних ряда, приходим к

1 + 0 + 0 + … = 0,

что противоречит свойству устойчивости.

Методы, использованные выше, для суммирования 1 + 2 + 3 + … являются либо только устойчивыми, либо только линейными. Например, существует два разных метода, называемых регуляризацией дзета-функцией. Первый является устойчивым, но нелинейным и определяет сумму a + b + c + … множества чисел как значение аналитического продолжения выражения 1/a^s + 1/b^s + 1/c^s + при s = −1. Второй метод линейный, но неустойчивый и определяет сумму последовательности чисел как значение аналитического продолжения выражения a/1^s + b/2^s + c/3^s при s = 0. Оба метода присваивают ряду 1 + 2 + 3 + … значение суммы ζ(−1) = −1/12.

Значение −1/12 встречается в теории бозонных струн при попытке рассчитать возможные энергетические уровни струны, а именно низший энергетический уровень^[2].

Регуляризация ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … также встречается при расчёте эффекта Казимира для скалярного поля в одномерном пространстве.^[1] Похожие вычисления возникают для трёхмерного пространства, однако в этом случае вместо дзета-функции Римана используются реальные^{[уточнить]} аналитические ряды Эйзенштейна.^[15]

• Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin. Ramanujan: letters and commentary. — American Mathematical Society, 1995. — ISBN 0-8218-0287-9.
• Hardy, G. H. Divergent Series (англ.). — Oxford University Press, 1949.
• Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. — Princeton UP, 2003. — ISBN 0-691-01019-6.

• This Week’s Finds in Mathematical Physics (Week 124), (Week 126), (Week 147), (Week 213)
  • Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 — By John Baez
  • John Baez. My Favorite Numbers: 24  (19 сентября 2008).
• The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation by Terence Tao
• A recursive evaluation of zeta of negative integers by Luboš Motl
• ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = −1/12 Numberphile video with over a million views
  • Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage) includes demonstration of Euler’s method.
  • What do we get if we sum all the natural numbers? response to comments about video by Tony Padilla
  • Related article from New York TImes
• Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 by Brydon Cais from University of Arizona