Тысячеугольник

Тысячеугольник или хилиагон (от др.-греч. χῑλιαγωνον) ― многоугольник с 1000 углами и 1000 сторонами.

Величина каждого внутреннего угла правильного тысячеугольника составляет ${\displaystyle {\frac {499\pi }{500}}}$ радиан или 179°38'24". Площадь правильного тысячеугольника со стороной ${\displaystyle a}$ задаётся формулой

${\displaystyle S=250a^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{1000}}\simeq 79577.2\,a^{2}}$.

Как следует из теоремы Гаусса ― Ванцеля, правильный тысячеугольник не является конструируемым многоугольником. Более того, его невозможно построить даже с помощью трисектора, поскольку число его сторон не является ни произведением различных простых чисел Пьерпонта (вида ${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1}$), ни произведением степеней двойки и тройки.

Хилиаграмма представляет собой 1000-конечный звёздчатый многоугольник.

Рене Декарт в шестой главе «Размышлений о первой философии» демонстрирует эпистемологические различия между воображением и чистым пониманием на примере тысячеугольника. Философ утверждает, что, когда человек думает о тысячеугольнике, он не в силах «представить себе эту тысячу сторон или всмотреться в них как в присутствующие» ― в отличие, например, от того, как он представляет себе треугольник. В случае с тысячеугольником воображение формирует смутное представление, ничем не отличающееся от воображаемого образа «десятитысячеугольника или какой-то другой многосторонней фигуры». Однако человек отчётливо понимает, что такое тысячеугольник, и способен на этом основании отличить данную фигуру от десятитысячеугольника. Следовательно, как заключает Декарт, разум не зависит от воображения, поскольку он способен воспринимать чистые идеи, в то время как воображение не в состоянии справиться с этой задачей^[1]. Философ Пьер Гассенди, современник Декарта, критически относился к подобной трактовке чистого понимания, считая её ошибочной: «Когда ты говоришь, что действительно ясно мыслишь целое, хотя и не можешь одновременно вообразить себе всё это в целом, то это не может означать ничего иного, как то, что ты ясно понимаешь [только] слово, обозначающее фигуру с тысячью углами, хотя самое фигуру ты ясно не мыслишь»^[2].

Анри Пуанкаре применяет идею тысячеугольника в качестве доказательства того, что «интуиция не основывается неизбежно на свидетельстве чувств», поскольку «мы не можем, например, представить себе тысячеугольника и однако же интуитивно рассуждаем о многоугольниках вообще, а они включают в себя как частный случай и тысячеугольник»^[3].