Числа Якобсталя

Числа Якобсталя — целочисленная последовательность ${\displaystyle (J_{n})}$, первый и второй элементы которой (как и последовательности Фибоначчи) равны 0 и 1, а последующие элементы равны сумме предыдущего и удвоенного предпредыдущего: ${\displaystyle J_{n-1}+2J_{n-2}}$ при ${\displaystyle n>1}$; первые значения^[1]:

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10 923, 21 845, 43 691, 87 381, 174 763, 349 525, …

Названа в честь Эрнста Якобсталя. Как и числа Фибоначчи, являются одной из последовательностей Люка ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ — при ${\displaystyle P=1}$ и ${\displaystyle Q=-2}$^[2].

Другие варианты рекуррентного задания последовательности^[1]:

${\displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n}}$,

${\displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n}}$.

Число Якобсталя с заданным номером можно вычислить с помощью формулы^[2][1]:

${\displaystyle J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}}$.

Числа Якобсталя — Люка — последовательность Люка ${\displaystyle V_{n}(1,-2)}$; они удовлетворяют тем же рекуррентным отношениям (${\displaystyle j_{n-1}+2j_{n-2}}$ при ${\displaystyle n>1}$), что и числа Якобсталя, но отличаются начальными значениями^[2]: ${\displaystyle j_{0}=2}$ и ${\displaystyle j_{1}=1}$.

Альтернативная рекуррентная формула^[3]:

${\displaystyle j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}}$.

Число Якобсталя — Люка с заданным номером можно вычислить с помощью формулы^[3]:

${\displaystyle j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.}$

Первые числа Якобсталя — Люка^[2][3]:

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16 385, 32 767, 65 537, 131 071, 262 145, 524 287, 1 048 577, …

• A. F. Horadam (Май 1994). Jacobsthal representation numbers (PDF) (англ.).
• Paul Barry (Апрель 2003). Triangle Geometry and Jacobsthal Numbers (PDF) (англ.). Irish Math. Soc. Bulletin.
• Zvonko Čerin (2007). Sums of Squares and Products of Jacobsthal Numbers (PDF) (англ.). Vol. 10. Journal of Integer Sequences.

• Последовательность A049883 в OEIS: простые числа Якобсталя