Обобщённый собственный вектор

Обобщённый собственный вектор ${\displaystyle n\times n}$ матрицы ${\displaystyle A}$ — вектор, который удовлетворяет определённым критериям, которые слабее, чем критерии для (обычных) собственных векторов^[1].

Пусть ${\displaystyle V}$ будет ${\displaystyle n}$-мерным векторным пространством. Пусть ${\displaystyle \phi }$ будет линейным отображением в ${\displaystyle L(V)}$, множества всех линейных отображений из ${\displaystyle V}$ в себя. Пусть ${\displaystyle A}$ будет матричным представлением отображения ${\displaystyle \phi }$ для некоторого упорядоченного базиса.

Может не существовать полного набора ${\displaystyle n}$ линейно независимых собственных векторов матрицы ${\displaystyle A}$, которые образуют полный базис для ${\displaystyle V}$. То есть, матрица ${\displaystyle A}$ не может быть диагонализирована^[2][3]. Это происходит, когда алгебраическая кратность по меньшей мере одного собственного значения ${\displaystyle \lambda _{i}}$ больше, чем его геометрическая кратность (степень вырожденности матрицы ${\displaystyle (A-\lambda _{i}E)}$, или размерность его ядра). В этом случае ${\displaystyle \lambda _{i}}$ называется дефектным собственным значением, а сама матрица ${\displaystyle A}$ называется дефектной матрицей^[4].

Обобщённый собственный вектор ${\displaystyle x_{i}}$, соответствующий ${\displaystyle \lambda _{i}}$, вместе с матрицей ${\displaystyle (A-\lambda _{i}E)}$ образует цепочку Жордана линейно независимых обобщённых собственных векторов, которые образуют базис для инвариантного подпространства пространства ${\displaystyle V}$^[5][6][7].

Используя обобщённые собственные векторы, множество линейно независимых собственных векторов матрицы ${\displaystyle A}$ может быть расширено, если необходимо, до полного базиса для ${\displaystyle V}$^[8]. Этот базис можно использовать для определения «почти диагональной матрицы» ${\displaystyle J}$ в жордановой нормальной форме, подобной матрице ${\displaystyle A}$, что применяется при вычислении определённых матричных функций от ${\displaystyle A}$^[1]. Матрица ${\displaystyle J}$ также применяется при решении системы линейных дифференциальных уравнений ${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} }$, где ${\displaystyle A}$ не обязательно диагонализируема^[9][3].

Размерность обобщённого собственного пространства, соответствующего заданному собственному значению ${\displaystyle \lambda }$, равна алгебраической кратности ${\displaystyle \lambda }$^[8].

Имеется несколько эквивалентных путей определения обычного собственного вектора^{[10][11][12][13][14][15][16][17]}. Для наших целей собственным вектором ${\displaystyle \mathbf {u} }$, ассоциированным с собственным значением ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n\times n}$ матрицы ${\displaystyle A}$, является ненулевой вектор, для которого ${\displaystyle (A-\lambda E)\mathbf {u} =\mathbf {0} }$, где ${\displaystyle E}$ является ${\displaystyle n\times n}$ единичной матрицей, а ${\displaystyle \mathbf {0} }$ является нулевым вектором длины ${\displaystyle n}$^[12]. То есть, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ является ядром преобразования ${\displaystyle (A-\lambda E)}$. Если ${\displaystyle A}$ имеет ${\displaystyle n}$ линейно независимых собственных векторов, то ${\displaystyle A}$ подобна диагональной матрице ${\displaystyle D}$. То есть, существует невырожденная матрица ${\displaystyle M}$, такая что ${\displaystyle A}$ диагонализируема с помощью преобразование подобия ${\displaystyle D=M^{-1}AM}$^[18][19]. Матрица ${\displaystyle D}$ называется спектральной матрицей матрицы ${\displaystyle A}$. Матрица ${\displaystyle M}$ называется модальной матрицей матрицы ${\displaystyle A}$^[20]. Диагонализируемые матрицы представляют определённый интерес, поскольку матричные функции от неё могут быть легко вычислены^[21].

С другой стороны, если матрица ${\displaystyle A}$ не имеет ${\displaystyle n}$ линейно независимых собственных векторов, ассоциированных с ней, то ${\displaystyle A}$ не диагонализируема^[18][19].

Определение: Вектор ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ является обобщённым собственным вектором ранга ${\displaystyle m}$ матрицы ${\displaystyle A}$, соответствующим собственному значению ${\displaystyle \lambda }$, если:

${\displaystyle (A-\lambda E)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} ~,}$

но

${\displaystyle (A-\lambda E)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} ~.}$ ^[1].

Обобщённый собственный вектор ранга 1 является обычным собственным вектором^[22]. Любая ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ имеет ${\displaystyle n}$ линейно независимых обобщённых собственных векторов, ассоциированных с ней, и можно показать, что она подобна «почти диагональной» матрице ${\displaystyle J}$ в жордановой нормальной форме^[23]. То есть, существует обратимая матрица ${\displaystyle M}$, такая что ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$^[24]. Матрица ${\displaystyle M}$ в этом случае называется обобщённой модальной матрицей матрицы ${\displaystyle A}$^[25]. Если ${\displaystyle \lambda }$ является собственным значением с алгебраической кратностью ${\displaystyle \mu }$, то ${\displaystyle A}$ будет иметь ${\displaystyle \mu }$ линейно независимых обобщённых собственных векторов, соответствующих ${\displaystyle \lambda }$^[8]. Эти результаты, в свою очередь, предоставляют метод вычисления определённых матричных функций от ${\displaystyle A}$^[26].

Примечание: Для того, что бы ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ над полем ${\displaystyle F}$ могла быть выражена в жордановой нормальной форме, все собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$ должны быть в ${\displaystyle F}$. То есть, характеристический многочлен ${\displaystyle f(x)}$ должен разлагаться полностью на линейные множители. Альтернативный пример: если матрица ${\displaystyle A}$ состоит из вещественных элементов, может оказаться, что собственные значения и компоненты собственных векторов будут содержать мнимые значения^[4][27][3].

Линейная оболочка всех обобщённых собственных векторов для данного ${\displaystyle \lambda }$ образует обобщённое собственное пространство для ${\displaystyle \lambda }$^[3].

Несколько примеров для иллюстрации концепции обобщённых собственных векторов. Некоторые детали будут описаны ниже.

Представленный ниже тип матрицы часто используется в учебниках^[3][28][2]. Возьмём матрицу

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}~.}$

Тогда имеется только одно собственное значение, ${\displaystyle \lambda =1}$, и его алгебраическая кратность ${\displaystyle m=2}$.

Заметим, что эта матрица имеет жорданову нормальную форму, но не диагональна. Следовательно, эта матрица не диагонализируема. Поскольку наддиагональ содержит один элемент, имеется один обобщённый собственный вектор ранга, большего 1 (заметим, что векторное пространство ${\displaystyle V}$ имеет размерность 2, так что может быть не более одного обобщённого собственного вектора ранга, большего 1). Можно также вычислить размерность ядра матрицы ${\displaystyle A-\lambda E}$, которая равняется ${\displaystyle p=1}$, тогда имеется ${\displaystyle m-p=1}$ обобщённых собственных векторов ранга, большего 1.

Обыкновенный собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ вычисляется стандартным методом (см. статью Собственный вектор). Используя этот собственный вектор определяется обобщённый собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ путём решения уравнения:

${\displaystyle (A-\lambda E)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}~.}$

Выписывая значения:

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}~.}$

Это выражение упрощается до:

${\displaystyle v_{22}=1~.}$

Элемент ${\displaystyle v_{21}}$ не имеет ограничений. Обобщённый собственный вектор ранга 2 равен тогда ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}}$, где ${\displaystyle a}$ может иметь любое скалярное значение. Выбор ${\displaystyle a=0}$ является, как правило, простейшим.

При этом:

${\displaystyle (A-\lambda E)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1}~,}$

так что ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ является обобщённым собственным вектором,

${\displaystyle (A-\lambda E)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ~,}$

так что ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ является обычным собственным вектором, а ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ являются линейно независимыми, и, следовательно, образуют базис для векторного пространства ${\displaystyle V}$.

Следующий пример несколько сложнее примера 1, но также небольшого размера^[29]. Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}}$

имеет собственные значения ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}=2}$ с алгебраическими кратностями ${\displaystyle \mu _{1}=2}$ и ${\displaystyle \mu _{2}=3}$, но геометрические кратности будут равны ${\displaystyle \gamma _{1}=1}$ и${\displaystyle \gamma _{2}=1}$.

Обобщённое собственное подпространство матрицы ${\displaystyle A}$ вычисляется ниже. ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ является обычным собственным вектором, ассоциированным с ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ является обобщённым собственным вектором, ассоциированным с ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ является обобщённым собственным вектором, ассоциированным с ${\displaystyle \lambda _{2}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {y} _{3}}$ являются обобщёнными собственными векторами, ассоциированными с ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

${\displaystyle (A-1E)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ~,}$

${\displaystyle (A-1E)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1}~,}$

${\displaystyle (A-2E)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ~,}$

${\displaystyle (A-2E)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1}~,}$

${\displaystyle (A-2E)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}~.}$

Получаем базис для каждого из обобщённых собственных пространств матрицы ${\displaystyle A}$. Вместе линейные комбинации двух цепочек обобщённых собственных векторов заполняют пространство всех 5-мерных векторов-столбцов:

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\}~,\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}~.}$

«Почти диагональная» матрица ${\displaystyle J}$ в жордановой нормальной форме, подобная ${\displaystyle A}$, получается следующим образом:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}}~,}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}}~,}$

где ${\displaystyle M}$ является обобщённой модальной матрицей матрицы ${\displaystyle A}$, столбцы матрицы ${\displaystyle M}$ являются каноническим базисом матрицы ${\displaystyle A}$, и ${\displaystyle AM=MJ}$^[30].

Определение: Пусть ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ будет обобщённым собственным вектором ранга ${\displaystyle m}$, соответствующим матрице ${\displaystyle A}$ и собственному значению ${\displaystyle \lambda }$. Цепочка, образованная вектором ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ — это набор векторов ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}}$, определённых выражением:

${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{m}~,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda E)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{m-1}~,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda E)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{m-2}~,}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-\lambda E)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{2}~.}$

(1)

Тогда:

${\displaystyle \mathbf {x} _{j}=(A-\lambda E)^{m-j}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{j+1}\qquad (j=1,2,\dots ,m-1)~.}$

(2)

Вектор ${\displaystyle \mathbf {x} _{j}}$, заданный формулой (2), является обобщённым собственным вектором ранга ${\displaystyle j}$, соответствующим собственному значению ${\displaystyle \lambda }$. Цепочка является набором линейно независимых векторов^[6].

Определение: Набор ${\displaystyle n}$ линейно независимых обобщённых собственных векторов является каноническим базисом, если набор полностью состоит из цепочек Жордана.

Таким образом, если обобщённый собственный вектор ранга ${\displaystyle m}$ находится в каноническом базисе, то ${\displaystyle m-1}$ векторов ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}$, находящихся в цепочке Жордана, образованной ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$, также находятся в каноническом базисе^[31].

Пусть ${\displaystyle \lambda _{i}}$ будет собственным значением матрицы ${\displaystyle A}$ с алгебраической кратностью ${\displaystyle \mu _{i}}$. Найдём (матричные) ранги матриц ${\displaystyle (A-\lambda _{i}E),(A-\lambda _{i}E)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}E)^{m_{i}}}$. Целое число ${\displaystyle m_{i}}$ определяется как первое число, для которого ${\displaystyle (A-\lambda _{i}R)^{m_{i}}}$ имеет ранг ${\displaystyle n-\mu _{i}}$ (здесь ${\displaystyle n}$ равно числу строк или столбцов матрицы ${\displaystyle A}$, то есть, матрица ${\displaystyle A}$ имеет размер ${\displaystyle n\times n}$).

Далее определим:

${\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}E)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}E)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i})~.}$

Переменная ${\displaystyle \rho _{k}}$ обозначает число линейно независимых обобщённых собственных векторов ранга ${\displaystyle k}$, соответствующих собственному значению ${\displaystyle \lambda _{i}}$, которые появятся в каноническом базисе матрицы ${\displaystyle A}$. При этом:

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda _{i}E)^{0}=\operatorname {rank} (E)=n}$^[32].

В предыдущих разделах представлены техники получения ${\displaystyle n}$ линейно независимых обобщённых собственных векторов канонического базиса для векторного пространства ${\displaystyle V}$, ассоциированного с ${\displaystyle n\times n}$ матрицей ${\displaystyle A}$. Эти техники могут быть собраны в процедуре:

Решаем характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle A}$, чтобы получить собственные значения ${\displaystyle \lambda _{i}}$ и их алгебраические кратности ${\displaystyle \mu _{i}}$;

Для каждого ${\displaystyle \lambda _{i}}$:

Определяем ${\displaystyle n-\mu _{i}}$;

Определяем ${\displaystyle m_{i}}$;

Определяем ${\displaystyle \rho _{k}}$ для ${\displaystyle (k=1,\ldots ,m_{i})}$;

Определяем каждую жорданову цепь для ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

имеет собственное значение ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$ с алгебраической кратностью ${\displaystyle \mu _{1}=3}$ и собственное значение ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$ с алгебраической кратностью ${\displaystyle \mu _{2}=1}$, при этом ${\displaystyle n=4}$. Для каждого ${\displaystyle \lambda _{1}}$ выполняется: ${\displaystyle n-\mu _{1}=4-3=1}$.

${\displaystyle (A-5E)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatorname {rank} (A-5E)=3~.}$

${\displaystyle (A-5E)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatorname {rank} (A-5E)^{2}=2~.}$

${\displaystyle (A-5E)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatorname {rank} (A-5E)^{3}=1~.}$

Первое целое ${\displaystyle m_{1}}$, для которого ${\displaystyle (A-5E)^{m_{1}}}$ имеет ранг ${\displaystyle n-\mu _{1}=1}$, равно ${\displaystyle m_{1}=3}$.

Далее определяем:

${\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5E)^{2}-\operatorname {rank} (A-5E)^{3}=2-1=1~,}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5E)^{1}-\operatorname {rank} (A-5E)^{2}=3-2=1~,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5E)^{0}-\operatorname {rank} (A-5E)^{1}=4-3=1~.}$

Следовательно, будет три линейно независимых обобщённых собственных вектора, по одному из рангов 3, 2 и 1. Поскольку ${\displaystyle \lambda _{1}}$ соответствует одной цепи из трёх линейно независимых обобщённых собственных векторов, существует обобщённый собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ ранга 3, соответствующий ${\displaystyle \lambda _{1}}$, такой что:

${\displaystyle (A-5E)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0} ~,}$

(3)

но:

${\displaystyle (A-5E)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} ~.}$

(4)

Выражения (3) и (4) представляют линейную систему, которую можно решить относительно ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$. Пусть

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}~.}$

Тогда:

${\displaystyle (A-5E)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle (A-5E)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}~.}$

Тогда, чтобы удовлетворить условиям (3) и (4), необходимо иметь ${\displaystyle x_{34}=0}$ и ${\displaystyle x_{33}\neq 0}$. Никакие ограничения не накладываются на ${\displaystyle x_{31}}$ и ${\displaystyle x_{32}}$. Выбрав ${\displaystyle x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1}$, получим:

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}~,}$

как обобщённый собственный вектор ранга 3, соответствующий ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$. Можно получить бесконечно много других обобщённых собственных векторов ранга 3, выбрав другие значения ${\displaystyle x_{31}}$, ${\displaystyle x_{32}}$ и ${\displaystyle x_{33}}$ при ${\displaystyle x_{33}\neq 0}$. Сделанный выбор, однако, самый простой^[33].

Теперь, используя равенства (1), получим ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ как обобщённые собственные векторе ранга 2 и 1 соответственно, где:

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=(A-5E)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-5E)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}~.}$

Некратное собственное значение ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$ может быть вычислено с помощью стандартных техник и оно соответствует обычному собственному вектору:

${\displaystyle \mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}~.}$

Каноническим базисом матрицы ${\displaystyle A}$ будет:

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}~.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ будут обобщёнными собственными векторами, ассоциированными с ${\displaystyle \lambda _{1}}$, в то время как ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ является обычным собственным вектором, ассоциированным с ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

Это довольно простой пример. В общем случае количества ${\displaystyle \rho _{k}}$ линейно независимых обобщённых собственных векторов ранга ${\displaystyle k}$ не всегда будут одинаковыми. То есть, могут быть цепочки с разными длинами соответствующих собственных значений^[34].

Пусть ${\displaystyle A}$ является ${\displaystyle n\times n}$ матрицей. Обобщённая модальная матрица ${\displaystyle M}$ для ${\displaystyle A}$ — это ${\displaystyle n\times n}$ матрица, столбцы которой, рассматриваемые как вектора, образуют канонический базис матрицы ${\displaystyle A}$ и появляются в ${\displaystyle M}$ по следующим правилам:

• Все цепочки Жордана, состоящие из одного вектора (то есть, длиной в один вектор) появляются в первом столбце матрицы ${\displaystyle M}$.
• Все вектора одной цепочки появляются вместе в смежных столбцах матрицы ${\displaystyle M}$.
• Каждая цепочка появляется в ${\displaystyle M}$ в порядке увеличения ранга (то есть, обобщённый собственный вектор ранга 1 появляется до обобщённого собственного вектора ранга 2 той же цепочки, этот вектор появляется до обобщённого собственного вектора ранга 3 той же цепочки, и т. д.)^[25].

Пусть ${\displaystyle V}$ является ${\displaystyle n}$-мерным векторным пространством. Пусть ${\displaystyle \phi }$ будет линейным отображением из ${\displaystyle L(V}$), множества всех линейных отображений из ${\displaystyle V}$ в себя. Пусть ${\displaystyle A}$ будет матричным представлением ${\displaystyle \phi }$ для некоторого упорядоченного базиса. Можно показать, что если характеристический многочлен ${\displaystyle f(\lambda )}$ матрицы ${\displaystyle A}$ разлагается на линейные множители, так что ${\displaystyle f(\lambda )}$ имеет вид:

${\displaystyle f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}}~,}$

где ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$ являются различными собственными значениями ${\displaystyle A}$, то каждое ${\displaystyle \mu _{i}}$ является алгебраической кратностью соответствующего собственного значения ${\displaystyle \lambda _{i}}$, а ${\displaystyle A}$ подобна матрице ${\displaystyle J}$ в жордановой нормальной форме, где каждая ${\displaystyle \lambda _{i}}$ появляется ${\displaystyle \mu _{i}}$ раз последовательно на диагонали. При этом элемент непосредственно над каждой ${\displaystyle \lambda _{i}}$ (то есть, на наддиагонали) равен либо 0, либо 1 — элементы, выше первого вхождения каждой ${\displaystyle \lambda _{i}}$ всегда равны 0; все другие элементы на наддиагонали равны 1. При этом все другие элементы вне диагонали и наддиагонали равны 0. Матрица ${\displaystyle J}$ наиболее близка к диагонализации матрицы ${\displaystyle A}$. Если матрица ${\displaystyle A}$ диагонализируема, все элементы выше диагонали равны нулю ^[35]. Заметим, что в некоторых книгах единицы располагаются на поддиагонали, то есть, непосредственно под главной диагонали, а не на наддиагонали. Собственные значения при этом остаются на главной диагонали^[36][37].

Любая ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ подобна матрице ${\displaystyle J}$ в жордановой нормальной форме, которая получается посредством преобразований подобия ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$, где ${\displaystyle M}$ является обобщённой модальной матрицей матрицы ${\displaystyle A}$^[38] (См. Примечание выше).

Найдём матрицу в жордановой нормальной форме, которая подобна матрице:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}~.}$

Решение: Характеристическое уравнение матрицы ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle (\lambda -2)^{3}=0}$, следовательно, ${\displaystyle \lambda _{1}=2}$ является единственным собственным значением с алгебраической кратностью ${\displaystyle \mu _{1}=3}$. Следуя процедуре из предыдущего раздела, находим что:

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2E)=1}$

и

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2E)^{2}=0=n-\mu _{1}~.}$

Тогда ${\displaystyle \rho _{2}=1}$ и ${\displaystyle \rho _{1}=2}$, откуда следует, что канонический базис матрицы ${\displaystyle A}$ будет содержать один линейно независимый обобщённый собственный вектор ранга 2 и два линейно независимых обобщённых собственных вектора ранга 1, или, что эквивалентно: одну цепочку из двух векторов ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$ и одну цепочку векторов ${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\}}$. Обозначив ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}}$, получим:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}~,}$

где ${\displaystyle M}$ является обобщённой модальной матрицей матрицы ${\displaystyle A}$, столбцы матрицы ${\displaystyle M}$ являются каноническим базисом матрицы ${\displaystyle A}$, и ${\displaystyle AM=MJ}$^[39]. Поскольку обобщённые собственные векторы сами по себе не единственны, и поскольку некоторые из столбцов матриц ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle J}$ могут быть обменены, то отсюда следует, что как матрица ${\displaystyle M}$, так и ${\displaystyle J}$ не уникальны^[40].

В Примере 3 был найден канонический базис линейно независимых обобщённых собственных векторов матрицы ${\displaystyle A}$. Обобщённая модальная матрица матрицы ${\displaystyle A}$ равна:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}~.}$

Матрица в жордановой нормальной форме, подобная матрице ${\displaystyle A}$, равна:

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}}~,}$

так что ${\displaystyle AM=MJ}$.

Три главные операции, которые можно проводить с квадратными матрицами — это сложение матриц, умножение на скаляр и матричное умножение^[41]. Это в точности те операции, которые нужны для определения полиномиальной функции от ${\displaystyle n\times n}$ матрицы ${\displaystyle A}$^[42]. Многие функции могут быть представлены в виде ряда Маклорена, Следовательно, можно определить более общие функции от матриц^[43]. Если матрица ${\displaystyle A}$ диагонализируема, то есть:

${\displaystyle D=M^{-1}AM~,}$

с

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}~,}$

тогда:

${\displaystyle D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}~,}$

и суммирование ряда Маклорена функции ${\displaystyle A}$ сильно упрощается ^[44]. Например, для получения любой степени k матрицы ${\displaystyle A}$, нужно лишь вычислить ${\displaystyle D^{k}}$, умножив затем слева матрицу ${\displaystyle D^{k}}$ на ${\displaystyle M}$, а затем справа на ${\displaystyle M^{-1}}$^[45].

С помощью обобщённых собственных векторов можно получить жорданову нормальную форму матрицы ${\displaystyle A}$ и эти результаты можно обобщить для получения прямого метода вычисления функций от недиагонализируемых матриц^[46] (См. Разложение Жордана.)

Рассмотрим задачу решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ~,}$

(5)

где:

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}}~,\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}}~,}$      и      ${\displaystyle A=(a_{ij})~.}$

Если матрица ${\displaystyle A}$ диагонализируема, так что ${\displaystyle a_{ij}=0}$ для ${\displaystyle i\neq j}$, система (5) сводится к системе из ${\displaystyle n}$ уравнений, которые принимают вид:

${\displaystyle x_{1}'=a_{11}x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}'=a_{22}x_{2}}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle x_{n}'=a_{nn}x_{n}~.}$

(6)

В этом случае общее решение задаётся выражениями:

${\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}}$

${\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}~.}$

В общем случае следует диагонализировать матрицу ${\displaystyle A}$ и свести систему (5) к системе вида (6) как указано ниже. Если матрица ${\displaystyle A}$ диагонализируема, имеем ${\displaystyle D=M^{-1}AM}$, где ${\displaystyle M}$ является модальной матрицей матрицы ${\displaystyle A}$. После подстановки ${\displaystyle A=MDM^{-1}}$ равенство (5) принимает вид ${\displaystyle M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )}$, или:

${\displaystyle \mathbf {y} '=D\mathbf {y} ~,}$

(7)

где:

${\displaystyle \mathbf {x} =M\mathbf {y} ~.}$

(8)

Решением уравнения (7) будет:

${\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}}$

${\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}~.}$

Решение ${\displaystyle \mathbf {x} }$ системы (5) получается тогда с помощью отношения (8)^[47].

С другой стороны, если матрица ${\displaystyle A}$ не диагонализируема, выберем в качестве матрицы ${\displaystyle M}$ обобщённую модальную матрицу для матрицы ${\displaystyle A}$, так что ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$ является жордановой нормальной формой матрицы ${\displaystyle A}$. Система ${\displaystyle \mathbf {y} '=J\mathbf {y} }$ имеет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1}'&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n}~,\end{aligned}}}$

(9)

где значениями ${\displaystyle \lambda _{i}}$ являются собственные значения с главной диагонали матрицы ${\displaystyle J}$, а значениями ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ будут единицы и нули с наддиагонали матрицы ${\displaystyle J}$. Систему (9) часто решить проще, чем (5), например, по следующей схеме:

Решая последнее равенство в (9) относительно ${\displaystyle y_{n}}$ получаем ${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}$. Подставляя полученное значение ${\displaystyle y_{n}}$ в предпоследнее равенство в (9), решаем его относительно ${\displaystyle y_{n-1}}$. Продолжая этот процесс, пройдём по всем равенствам (9) от последнего до первого, решая тем самым всю систему уравнений. Решение ${\displaystyle \mathbf {x} }$ тогда получается из отношений (8)^[48].