Умножение вектора на число

Умноже́ние ве́ктора на число́, или умножение вектора на скаля́р — операция, ставящая в соответствие вектору и числу (скаляру) другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это число^[1]. При этом произведение вектора и числа в случае ненулевых сомножителей — новый вектор, у которого^[2][3][4]}:

• модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
• направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно.

Обозначение произведения вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и скаляра ${\displaystyle \lambda }$ следующее^[2][3][4]:

${\displaystyle \mathbf {a} \lambda }$ или ${\displaystyle \lambda \mathbf {a} .}$

В итоге получаем^[2]:

${\displaystyle |\lambda \mathbf {a} |=|\mathbf {a} \lambda |=|\lambda ||\mathbf {a} |.}$

Произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю^[2][3][4]:

${\displaystyle \lambda \mathbf {0} =0\mathbf {a} =\mathbf {0} .}$

Существуют два действия, обратных умножению вектора на число:

• деление вектора на число;
• деление вектора на вектор.

Умножение вектора на число — операция, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это число^[1].

Умножение вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на целое положительное число ${\displaystyle n}$ равно сложению вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ с самим собою ${\displaystyle n}$ раз. В результате возникает новый вектор ${\displaystyle n\mathbf {a} }$ с тем же направлением, что и исходный, но в ${\displaystyle n}$ раз большим модулем^[5][6]:

${\displaystyle n\mathbf {a} =\underbrace {\mathbf {a} +\mathbf {a} +\cdots +\mathbf {a} } _{n~~{\text{слагаемых}}}.}$

Тогда умножение вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на целое отрицательное число ${\displaystyle -n}$ равно умножению противоположного вектора ${\displaystyle -\mathbf {a} }$ на абсолютную величину целого числа ${\displaystyle |-n|=n}$^[7]:

${\displaystyle (-n)\mathbf {a} =n(-\mathbf {a} ).}$

Другими словами, в результате возникает новый вектор ${\displaystyle -n\mathbf {a} }$ с направлением, противоположным исходному вектору ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и в ${\displaystyle n}$ раз большим модулем^[2][6].

Обобщая, получаем, что произведение вектора и числа в случае ненулевых сомножителей — новый вектор, у которого^[2][3][4]:

• модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
• направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно.

Обозначения произведения вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и скаляра ${\displaystyle \lambda }$^[2][3][4]:

${\displaystyle \mathbf {a} \lambda }$ или ${\displaystyle \lambda \mathbf {a} .}$

Отсюда следует, что модуль произведения вектора и скаляра равен произведению их модулей^[2]:

${\displaystyle |\lambda \mathbf {a} |=|\mathbf {a} \lambda |=|\lambda ||\mathbf {a} |.}$

Произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю^[2][3][4]:

${\displaystyle \lambda \mathbf {0} =0\mathbf {a} =\mathbf {0} .}$

Три закона умножения вектора на скаляр те же самые, что и законы умножения чисел^[2]:

• переместительности (коммутативность):
  ${\displaystyle \lambda \mathbf {a} =\mathbf {a} \lambda }$;
• сочетательности (ассоциативность):
  ${\displaystyle \lambda (\mu \mathbf {a} )=(\lambda \mu )\mathbf {a} }$;
• распределительности (дистрибутивность):
  ${\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\lambda =\mathbf {a} \lambda +\mathbf {b} \lambda }$;
  ${\displaystyle (\lambda +\mu )\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} }$.

Теорема 1. Закон переместительности. Произведение вектора на число не изменяется при перестановке сомножителей^[2]:

${\displaystyle \lambda \mathbf {a} =\mathbf {a} \lambda .}$

Доказательство. По определению произведение вектора на число равно произведению числа на вектор, обе эти операции тождественны^[2].

Теорема 2. Закон сочетательности для числовых множителей. Последовательное произведение вектора на несколько чисел равно произведению вектора на произведение чисел^[6][8][9]:

${\displaystyle \lambda (\mu \mathbf {a} )=(\lambda \mu )\mathbf {a} .}$

Доказательство^[10][9]

Векторы ${\displaystyle \lambda (\mu \mathbf {a} ),(\lambda \mu )\mathbf {a} }$ обладают свойствами^[10][9]:

• имеют одинаковые направления:
  • если числа ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ одного знака, то оба вектора сонаправлены с вектором ${\displaystyle \mathbf {a} }$;
  • если числа ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ разных знаков, то оба вектора противоположно направлены вектору ${\displaystyle \mathbf {a} }$;
• имеют одинаковые модули:
  • ${\displaystyle |\lambda (\mu \mathbf {a} )|=|\lambda ||\mu \mathbf {a} |=|\lambda ||\mu ||\mathbf {a} |;}$
  • ${\displaystyle |(\lambda \mu )\mathbf {a} |=|\lambda \mu ||\mathbf {a} |=|\lambda ||\mu ||\mathbf {a} |.}$

Следовательно, векторы

${\displaystyle \lambda (\mu \mathbf {a} )}$ и ${\displaystyle (\lambda \mu )\mathbf {a} }$

равны как имеющие одинаковые направления и модули^[10][9].

Теорема 3. Закон двоякой распределительности. Почленно можно вычислять произведения сумм^[10][11]:

• векторов на число (закон распределительности числового сомножителя относительно суммы векторов^[1]):
  ${\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\lambda =\mathbf {a} \lambda +\mathbf {b} \lambda }$;
• чисел на вектор (закон распределительности векторного сомножителя относительно суммы чисел^[1])^[6]:
  ${\displaystyle (\lambda +\mu )\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} }$.

Доказательство^[12][6][11]

1. Построим треугольники^[10][6][11]:

• ${\displaystyle PQR}$ со сторонами ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} +\mathbf {b} }$;
• ${\displaystyle P'Q'R'}$ со сторонами ${\displaystyle \lambda \mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} ,\lambda \mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} }$.

Эти треугольники подобны, поскольку их стороны ${\displaystyle PQ,QR}$ и ${\displaystyle P'Q',Q'R'}$ соответственно параллельны и пропорциональны^[10][6][11]:

${\displaystyle {\frac {P'Q'}{PQ}}={\frac {Q'R'}{QR}}=\lambda }$.

Следовательно, третьи стороны треугольников также параллельны и их отношение также равно ${\displaystyle \lambda }$, то есть первый закон распределительности доказан^[12][6][11]:

${\displaystyle \lambda \mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} +\mathbf {b} )a}$.

Рисунок справа сделан для положительного ${\displaystyle \lambda }$. При отрицательном ${\displaystyle \lambda }$ направления всех трёх сторон треугольника ${\displaystyle P'Q'R'}$ меняются на противоположные и доказательство остаётся справедливым^[13].

2. Рассмотрим два случая, определяемые знаком суммы чисел ${\displaystyle \lambda +\mu }$^[13][14]:

• ${\displaystyle \lambda +\mu >0}$. Тогда векторы
  ${\displaystyle (\lambda +\mu )\mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} }$
  сонаправлены и их модули равны, поскольку
  ${\displaystyle |(\lambda +\mu )\mathbf {a} |=|\lambda +\mu ||\mathbf {a} |=\lambda |\mathbf {a} |+\mu |\mathbf {a} |}$,
  ${\displaystyle |\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} |=\lambda |\mathbf {a} |+\mu |\mathbf {a} |}$,
  то есть в этом случае второй закон распределительности доказан:
  ${\displaystyle (\lambda +\mu )\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} }$;
• ${\displaystyle \lambda +\mu <0}$. Тогда ${\displaystyle -\lambda -\mu >0}$, и по доказанному в первом случае
  ${\displaystyle (-\lambda -\mu )\mathbf {a} =-\lambda \mathbf {a} +(-\mu \mathbf {a} )}$.
  После умножения обеих частей последнего равенства на ${\displaystyle -1}$ получаем:
  ${\displaystyle (\lambda +\mu )\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} }$,
  то есть и во втором случае второй закон распределительности доказан.

Доказанная формула закона распределительности числового сомножителя относительно суммы векторов

${\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\lambda =\mathbf {a} \lambda +\mathbf {b} \lambda }$;

верна и для нескольких векторов^[6]:

${\displaystyle (\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})\lambda =\mathbf {a} _{1}\lambda +\mathbf {a} _{2}\lambda +\cdots +\mathbf {a} _{n}\lambda }$.

Деление вектора на число — первая операция, обратная умножению вектора на число, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — частное вектора и числа. Другими словами, по произведению вектора на число и числу определяется вектор-сомножитель. При этом частное ${\displaystyle \mathbf {a} :\lambda \equiv {\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}}$ — это второй вектор ${\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}}$ такой, что ${\displaystyle \lambda \mathbf {b} =\mathbf {a} }$^[15].

Частное вектора и числа определяется умножением вектора на обратное число^[13][15]:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\mathbf {a} }$.

Деление вектора на вектор, причём второй вектор ненулевой, — вторая операция, обратная умножению вектора на число, ставящая в соответствие двум коллинеарным векторам, причём второй вектор ненулевой, число — частное, или отношение^[16], двух коллинеарных векторов. Другими словами, по произведению ненулевого вектора на число и второму коллинеарному вектору определяется число-сомножитель. При этом частное ${\displaystyle \mathbf {a} :\mathbf {b} \equiv {\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }}}$ — это число ${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }}}$ такое, что ${\displaystyle \lambda \mathbf {b} =\mathbf {a} }$^[16][17].

Частное, или отношение, ${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }}}$ двух коллинеарных векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$, причём второй вектор ненулевой, вычисляется следующим образом^[17][16]:

• ${\displaystyle |\lambda |=\left|{\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }}\right|={\frac {|\mathbf {a} |}{|\mathbf {b} |}}}$;
• ${\displaystyle \lambda >0}$, если векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ сонаправлены, ${\displaystyle \lambda <0}$, если векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ противоположно направлены, и ${\displaystyle \lambda =0}$, если ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$.

Частное равных векторов равно 1. Два вектора взаимно противоположны, если их частное равно −1, тогда их можно обозначить ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle -\mathbf {a} }$. Частное нулевого вектора и любого другого ненулевого равно нулю. Частное любого вектора и нулевого не определено^[16]. Если ${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {c} }}={\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {c} }}}$, то ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} }$^[18].

Для любых трёх векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$, причём векторы ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ненулевые, выполняется следующее равенство^[19][18]:

${\displaystyle {\frac {\displaystyle {\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {c} }}}{\displaystyle {\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {c} }}}}={\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {c} }}{\frac {\mathbf {c} }{\mathbf {b} }}={\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }}}$.

Деление вектора на вектор используется при разложении вектора в одномерном случае^[20][21].

Геометрическое вычитание векторов — операция, обратная геометрическому сложению векторов. Кроме неё, обратной операцией к сложению векторов является геометрическое разложение вектора, или просто разложение вектора — операция представления данного вектора в виде замыкающей нескольких векторов. Геометрически строится ломаная линия, которую замыкает данный вектор. Но так эту операцию определить нельзя, и чтобы её определить, нужно наложить на геометрические слагаемые определённые условия, которые рассматриваются в следующих трёх разделах^[6].

Векторы Если векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ связаны соотношением

${\displaystyle \mathbf {a} =\lambda \mathbf {b} }$,

то они коллинеарны. Обратное утверждение также справедливо по следующей теореме^[20].

Теорема 4. Разложение вектора по одному коллинеарному вектору. Любой вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$ можно единственным образом выразить через коллинеарный вектор ${\displaystyle \mathbf {b} }$^[20][21]:

${\displaystyle \mathbf {a} =\lambda \mathbf {b} }$,

где ${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }}}$ — число, которые вычисляется так, как показано в предыдущем разделе Деление векторов.

Рассмотрим случай равенства единице модуля одного из коллинеарных векторов, то есть когда этот вектор единичный, или орт. Орт вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ обозначают ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$ или ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$^[20][22].

Орт вектора ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}={\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}}}$ называется также направлением вектора^[20].

Теорема 5. Любой вектор равен произведению его орта на его модуль, другими словами, умножение орта вектора на его модуль даёт сам вектор^[22][20]:

${\displaystyle \mathbf {a} =|\mathbf {a} |\mathbf {a} ^{0}}$.

Эта формула замечательна тем, что в ней оба элемента, которые характеризуют вектор, разделены^[20]:

• модуль вектора ${\displaystyle |\mathbf {a} |}$;
• направление вектора ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$.

Если два вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ не коллинеарны, то третий вектор — сумма векторов

${\displaystyle \mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} }$

будет всегда параллелен плоскости, которую определяют векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$, то есть эти три вектора компланарны, так как геометрическая сумма векторов, лежащих в одной плоскости, лежит в той же плоскости. Обратное утверждение также справедливо, как показывает следующая теорема^[20].

Теорема 6. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам, если все три вектора компланарны. Любой вектор ${\displaystyle \mathbf {c} }$ единственным способом выражается через неколлинеарные ненулевые векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$, компланарные исходному^[20]:

${\displaystyle \mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} }$.

Доказательство^[23]

Отложим все три компланарных вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$ от одной и той же точки ${\displaystyle O}$ (см. рисунок справа вверху). Через конец ${\displaystyle C}$ вектора ${\displaystyle \mathbf {c} }$ проведём прямые ${\displaystyle CE}$ и ${\displaystyle CD}$, параллельные соответственно векторам ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$, то есть соответственно прямым ${\displaystyle OA}$ и ${\displaystyle OB}$. Тогда вектор ${\displaystyle \mathbf {c} }$ окажется геометрической суммой двух векторов ${\displaystyle \lambda \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mu \mathbf {b} }$, коллинеарных соответственно векторам ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$. В итоге получим искомое разложение вектора ${\displaystyle \mathbf {c} }$ по векторам ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$^[20].

Докажем от противного, что это разложение единственное. Пусть имеется два разных разложения

• ${\displaystyle \mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} }$,
• ${\displaystyle \mathbf {c} =\lambda '\mathbf {a} +\mu '\mathbf {b} }$,

тогда после вычитания этих равенств получим:

${\displaystyle \mathbf {0} =(\lambda -\lambda ')\mathbf {a} +(\mu -\mu ')\mathbf {b} }$,

откуда

${\displaystyle \lambda -\lambda '=\mu -\mu '=0}$,

то есть

${\displaystyle \lambda =\lambda ',\quad \mu =\mu '}$,

а это противоречит тому, что два исходных разложения разные^[23].

А если, например, ${\displaystyle \lambda -\lambda '\neq 0}$, то тогда из уравнения

${\displaystyle \mathbf {0} =(\lambda -\lambda ')\mathbf {a} +(\mu -\mu ')\mathbf {b} }$

следует равенство

${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {\mu -\mu '}{\lambda -\lambda '}}\mathbf {b} }$,

то есть либо векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ коллинеарны, либо ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$, что противоречит условию^[24].

Теорема 7. Уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку ${\displaystyle A}$ с радиус-вектором ${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}}$ и параллельной заданному вектору ${\displaystyle \mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}}$, задаётся следующим радиус-вектором произвольной точки прямой ${\displaystyle C}$^[25]:

${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mu \mathbf {b} }$.

Другими словами, радиус-вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c} }$ произвольной точки ${\displaystyle C}$ заданной прямой (относительно произвольной фиксированной точки ${\displaystyle O}$) разлагается на сумму радиус-вектора ${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}}$ заданной точки ${\displaystyle A}$ прямой и направляющего вектора ${\displaystyle \mathbf {b} }$ прямой с числовым коэффициентом ${\displaystyle \mu }$.

Доказательство. Рассмотрим вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a} =\mu \mathbf {b} }$,

следовательно, вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$ коллинеарен вектору ${\displaystyle \mathbf {b} }$, и точка ${\displaystyle C}$ всегда находится на прямой, параллельной вектору ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и проходящей через точку ${\displaystyle A}$^[25].

Теорема 8. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Любой вектор ${\displaystyle \mathbf {d} }$ трёхмерного пространства единственным способом выражается через некомпланарные ненулевые векторы ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$^[24][26]:

${\displaystyle \mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} }$.

Координаты вектора — числовые коэффициенты ${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$ вектора ${\displaystyle \mathbf {d} }$ относительно ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$^[27].

Доказательство^[24][26]

Доказательство 1. Используется правило параллелепипеда сложения векторов. Отложим все четыре вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$, ${\displaystyle \mathbf {c} }$ и ${\displaystyle \mathbf {d} }$ от одной и той же точки ${\displaystyle O}$. Через конец ${\displaystyle D}$ вектора ${\displaystyle \mathbf {d} }$ проведём три плоскости, параллельные граням трёхгранного угла, образованного тремя некомпланарными векторами ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$. Тогда ${\displaystyle \mathbf {d} }$ есть геометрическая сумма ${\displaystyle \lambda \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mu \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \nu \mathbf {c} }$, коллинеарных соответственно ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$. Имеем искомое разложение вектора ${\displaystyle \mathbf {d} }$ по векторам ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$^[24].

Это разложение единственное. От противного. Пусть имеется два разных разложения

• ${\displaystyle \mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} }$,
• ${\displaystyle \mathbf {d} =\lambda '\mathbf {a} +\mu '\mathbf {b} +\nu '\mathbf {c} }$,

после вычитания:

${\displaystyle \mathbf {0} =(\lambda -\lambda ')\mathbf {a} +(\mu -\mu ')\mathbf {b} +(\nu -\nu ')\mathbf {c} }$,

откуда

${\displaystyle \lambda -\lambda '=\mu -\mu '=\nu -\nu '=0}$,

то есть

${\displaystyle \lambda =\lambda ',\quad \mu =\mu ',\quad \nu =\nu '}$,

а это противоречит тому, что два исходных разложения разные^[24].

А если, например, ${\displaystyle \lambda -\lambda '\neq 0}$, то тогда из

${\displaystyle \mathbf {0} =(\lambda -\lambda ')\mathbf {a} +(\mu -\mu ')\mathbf {b} +(\nu -\nu ')\mathbf {c} }$

следует

${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {\mu -\mu '}{\lambda -\lambda '}}\mathbf {b} -{\frac {\nu -\nu '}{\lambda -\lambda '}}\mathbf {c} }$,

то есть либо векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$ компланарны, либо ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$, что противоречит условию^[24].

Доказательство 2. Используется правило многоугольника сложения векторов. Отложим все четыре вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$, ${\displaystyle \mathbf {c} }$ и ${\displaystyle \mathbf {d} }$ от одной и той же точки ${\displaystyle O}$. Через конец ${\displaystyle R}$ вектора ${\displaystyle \mathbf {d} }$ проведём прямую, параллельную вектору ${\displaystyle \mathbf {c} }$ и пересекающуюся с плоскостью векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ в точке ${\displaystyle \mathbf {Q} }$. Через ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ проведём ещё одну прямую, параллельную ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и пересекающуюся с прямой вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ в точке ${\displaystyle \mathbf {P} }$. Получаем, что

${\displaystyle \mathbf {d} ={\overrightarrow {OP}}+{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}}$,

но ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {QR}}}$ коллинеарны соответственно ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$, следовательно,

${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}=\lambda \mathbf {a} }$, ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}=\mu \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {QR}}=\nu \mathbf {c} }$,

откуда

${\displaystyle \mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} }$,

что и требовалось получить^[26].

Пусть имеется два разложения

• ${\displaystyle \mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} }$,
• ${\displaystyle \mathbf {d} =\lambda '\mathbf {a} +\mu '\mathbf {b} +\nu '\mathbf {c} }$,

после вычитания:

${\displaystyle \mathbf {0} =(\lambda -\lambda ')\mathbf {a} +(\mu -\mu ')\mathbf {b} +(\nu -\nu ')\mathbf {c} }$,

но поскольку ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$ некомпланарны по условию, то

${\displaystyle \lambda -\lambda '=\mu -\mu '=\nu -\nu '=0}$,

то есть

${\displaystyle \lambda =\lambda ',\quad \mu =\mu ',\quad \nu =\nu '}$,

следовательно, оба разложения совпадают между собой^[26].

1. ↑ ^{1 2 3 4} Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы: Общая часть, 1984, Умножение вектора на число, с. 462.
2. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 23.
3. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, стб. 633.
4. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Пытьев Ю. П. Векторная алгебра', 1988, с. 108.
5. ↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 22.
6. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов…, с. 11.
7. ↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 22—23.
8. ↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 23—24.
9. ↑ ^{1 2 3 4} Атанасян Л. С. Геометрия. 7—9 классы, 2014, Задачи к главе IX, с. 219.
10. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 24.
11. ↑ ^{1 2 3 4 5} Атанасян Л. С. Геометрия. 7—9 классы, 2014, Задачи к главе IX, с. 219—220.
12. ↑ ^{1 2} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 24—25.
13. ↑ ^{1 2 3} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 25.
14. ↑ Атанасян Л. С. Геометрия. 7—9 классы, 2014, Задачи к главе IX, с. 220.
15. ↑ ^{1 2} Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 89. Умножение и деление вектора на число, с. 123.
16. ↑ ^{1 2 3 4} Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава I. Координаты на прямой. § 2. Направленные отрезки (векторы), их отношение, с. 19.
17. ↑ ^{1 2} Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор), с. 124.
18. ↑ ^{1 2} Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 1. Векторное исчисление. § 2*. Векторы на прямой. 3. Отношение векторов на прямой, с. 27.
19. ↑ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава I. Координаты на прямой. § 2. Направленные отрезки (векторы), их отношение, с. 20.
20. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов…, с. 12.
21. ↑ ^{1 2} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 5. Линейные зависимости между векторами, с. 27.
22. ↑ ^{1 2} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 26.
23. ↑ ^{1 2} Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов…, с. 12—13.
24. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов…, с. 13.
25. ↑ ^{1 2} Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов…, с. 15.
26. ↑ ^{1 2 3 4} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 5. Линейные зависимости между векторами, с. 30.
27. ↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 5. Линейные зависимости между векторами, с. 31.

• Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабжённых решениями, составленного А. С, Пархоменко (рус.). — М.: «Наука», 1968. — 912 с., ил. — 60 000 экз.
• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.. Геометрия. 7—9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций (рус.) / под науч. рук. акад. А. Н. Тихонова. — 2-е изд. — М.: «Просвещение», 2014. — 383 с., ил. — Доп. тираж 50 000 экз. — ISBN 978-5-09-032008-5.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.. Математический словарь высшей школы: Общая часть (рус.) / под. ред. проф. Ю. С. Богданова. — Минск: «Высшая школа», 1984. — 527 с., ил. — 41 000 экз.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике (рус.). — 12-е, стереотип. — М.: «Наука», 1977. — 871 с., ил. — 150 000 тыс. экз.
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (рус.). — 9-е изд. — М.: «Наука», 1965. — 426,[1] с., ил.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления (рус.). — М.: «Наука», 1975. — 336 с., ил. — 35 000 экз.
• Постников М. М. Аналитическая геометрия (рус.). — М.: «Наука», 1973. — 751 с., ил.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 1 А—Г. — Стб. 632—636. — 1152 стб., ил. — 150 000 экз.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 107—109. — 847 с., ил. — 148 900 экз.

• Alfred Gray. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica® (англ.) / revised by Elsa Abbena and Simon Salamon. — Third Edition. — Boca Raton · London · New York · Oxford: Chapman & Hall/CRC, 2006. — XII+982 p. — (Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 1-58488-448-7. — ISBN 978-1-58488-448-4.
• Seymour Lipschutz, Marc Lars Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra (англ.). — Fourth edition. — New York: McGraw-Hill Book Company, 2009. — VI+425 p. — (Schaum’s Outline Series). — ISBN 978-0-07-154353-8.
• Louis Brand. Vector and tensor analysis (англ.). — Third Printing. — New York · London: John Wiley & Sons · Chapman & Hall, 1948. — xvi+439 p.