Адаптивная оценка

В статистике адаптивной оценкой называют оценку в параметрической или полупараметрической модели с мешающими параметрами, присутствие которых не влияет на эффективность оценки.

Пусть параметр ${\displaystyle \theta }$ — это параметр в параметрической модели, состоящей из двух частей: интересующего параметра ${\displaystyle \nu \in N\subseteq \mathbf {R} ^{K}}$ и мешающего параметра ${\displaystyle \eta \in H\subseteq \mathbf {R} ^{M}}$. Таким образом ${\displaystyle \theta =(\nu ,\eta )\in N\times H\subseteq \mathbf {R} ^{k+m}}$. Тогда назовём ${\displaystyle {\hat {\nu }}_{n}}$ адаптивной оценкой ${\displaystyle \nu }$ при присутствии ${\displaystyle \eta }$, если эта оценка регулярна^[1] и эффективна для каждой из подмоделей

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\nu }(\eta _{0})=\{P_{\theta }:\nu \in N,\eta =\eta _{0}\}}$.

Качество адаптивной оценки интересующего параметра не зависит от известности значения мешающего параметра.

Необходимое условие для регулярной^[2] параметрической модели иметь адаптивную оценку, такую что:

${\displaystyle I_{\nu \eta }(\theta )=\mathbb {E} [z_{\nu },z_{\eta }^{\prime }]=0,\quad \forall \theta }$,

где ${\displaystyle z_{\nu }}$ и ${\displaystyle z_{\eta }}$ компоненты скор-функции, соответствующие соответственно параметрам ${\displaystyle \nu }$ и ${\displaystyle \eta }$ и таким образом ${\displaystyle I_{\nu \eta }}$ это верхний правый блок матрицы информации Фишера ${\displaystyle I(\theta )}$ размером ${\displaystyle k\times m}$.

Предположим, ${\displaystyle P}$ нормальное распределение из семейства сдвига-масштаба:

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{f_{\theta }(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x-\mu )^{2}}{\bigg |}\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\right\}}$.

Тогда обычная оценка ${\displaystyle {\hat {\mu }}={\bar {x}}}$ является адаптивной: качество оценки среднего не зависит от того известна дисперсия или нет.

• Матричная форма информации Фишера (англ.)

1. ↑ Regular estimator (англ.). ISI Glossary of Statistical Terms. International Statistical Institute. Дата обращения: 24 июля 2025.
2. ↑ Асимптотическое распределение — раздел «Локальная асимптотическая нормальность»  (рус.). Дата обращения: 25 июля 2025.