Математика исламского Средневековья

Математика исламского Средневековья (также Исламская математика или Арабская математика) — это математика периода, когда учёные исламского мира внесли существенный вклад в её развитие. Он начинается между 622 и 750 годами, достигает своего расцвета в Золотой век ислама и завершается в промежутке между 1450 и 1630 годами^[a][1][3][5]. В этот период арабский язык длительное время оставался международным языком науки, опередив по масштабам любой другой язык предшествовавших эпох^[6]. Соответственно, большинство научных трудов исламских математиков создавалось именно на арабском^[7]. С XI века появляются научные труды и на персидском языке^[8], а первый математический трактат на турецком языке в Османской империи датируется 1438 годом^[9].

Ряд интересных задач, стимулировавших развитие математики, были поставлены перед учёными и самой исламской религией. Это задачи о расчёте лунного календаря, об определении точного времени для совершения намаза, об определении киблы, о распределении наследства согласно исламскому праву и о расчёте закята.

Именно в исламском мире оформились такие дисциплины, как алгебра, тригонометрия и криптология. Аль-Хорезми создал систематическое учение об уравнениях и положил начало алгебре как самостоятельной науке, а его последователи расширили методы на иррациональные числа, многочлены и кубические уравнения. Исламские математики шаг за шагом превращали тригонометрию из вспомогательного инструмента астрономии в самостоятельную дисциплину. Они ввели многие тригонометрические функции, а также доказали фундаментальные теоремы сферической тригонометрии. Завершающим этапом этого процесса стало творчество Насир ад-Дина ат-Туси, который систематизировал и обобщил накопленные достижения, оформив тригонометрию как отдельную науку. Параллельно возникла криптология — аль-Кинди впервые применил частотный анализ для взлома шифров, а аль-Калкашанди позднее систематизировал методы шифрования и дешифровки, фактически создав фундамент этой науки.

Другие направления математики также получили серьёзное развитие. В теории чисел из теории уравнений в рациональных числах выделилась теория диофантовых уравнений в целых числах, появилась первая теория дружественных чисел, углубились теории совершенных и фигурных чисел, были даны первые формулировки основной теоремы арифметики и теоремы Вильсона. Аль-Караджи первым изложил доказательства неявной математической индукцией, а Ибн аль-Хайсам фактически применял интегрирование многочленов для вычисления объемов, предвосхитив идеи математического анализа. В исламском мире берут своё начало десятичные дробные числа; само понятие «числа» из множества натуральных чисел было расширено до множества вещественных чисел; появилось первое систематическое изложение арифметики, основанной на десятичной позиционной системе.

Множество математических терминов имеют арабское происхождение. К ним относятся алгебра, алгоритм, цифра, шифр, английское zero, немецкое Ziffer, французское chiffre и другие^[10].

Началом исламского летоисчисления считается переселение мусульманской общины из Мекки в Медину в 622 году. В последующие десятилетия ислам утвердился на всём Аравийском полуострове и под властью халифов стремительно распространился на обширные территории — Сирию, Месопотамию, Египет, Северную Африку, Испанию, Сицилию, Центральную Азию и часть Индии. В новом государстве постепенно сформировалась исламская культура, а арабский стал языком религии, науки и межнационального общения. Столицей халифата при династии Омейядов был Дамаск, при Аббасидах — Багдад, ставший важным центром науки, ремёсел и торговли. Халифат сыграл значительную роль в повышении производительности сельского хозяйства, развитии архитектуры и расширении культурных связей между Востоком и другими регионами мира^[11].

Формирование исламской математической традиции было тесно связано с масштабным переводческим движением античных текстов на арабский язык. Этот процесс начался в VIII веке и достиг расцвета при Аббасидском халифате, когда в Багдаде при поддержке халифов создавались библиотеки, обсерватории и научные центры, важнейшим из которых стал «Дом мудрости». Здесь работали не только отдельные учёные, но и целые группы исследователей и переводчиков, которые иногда даже соревновались друг с другом^[12].

Уже в конце VIII века Ибрахимом аль-Фазари на арабский с санскрита была переведена «Сиддханта» Брахмагупты. Из индийской математики в исламский мир пришли арабские цифры и число ноль^[13]. В IX веке были переведены фундаментальные произведения античных математиков. Аль-Хаджжадж первым перевёл «Начала» Евклида^[14], ему же принадлежит один из самых ранних сохранившихся переводов «Альмагеста» Аристотеля^[15]. Всего за несколько десятилетий «Начала» были переведены трижды, «Альмагест» — дважды. К концу века на арабский язык были переведены «Конические сечения» Аполлония, трактаты Архимеда, семь книг «Арифметики» Диофанта, а также труды Герона и Паппа Александрийских^[16].

Цель переводов заключалась в создании базы для обучения и дальнейших исследований. Выбор текстов определялся актуальными задачами: перевод трактатов Архимеда предназначался для улучшения методов измерения площадей и объёмов, а перевод «Арифметики» Диофанта пришёлся на период интенсивных исследований в области алгебры. Нередко переводы становились отправной точкой для создания новых теорий. Так, Сабит ибн Курра, занимавшийся переводом «Введения в арифметику» Никомаха из Герасы, разработал первую теорию дружественных чисел, поскольку у Никомаха эта тема не имела какого-либо строгого обоснования^[17].

Размах переводческой деятельности впечатляет — список арабских комментаторов одного только Евклида достигает более пятидесяти геометров и алгебраистов. Часть авторов ограничивалась разъяснением трудов предшественников и составлением учебников на их основе, другие подвергали работы Евклида и других учёных критическому анализу и переосмыслению. Таким образом, комментарии к античным трудам были не только пояснениями, но и оригинальными работами по математике^[b], которые способствовали развитию математических знаний^[18][19]. В дальнейшем мусульмане познакомят с древнегреческими трудами, такими как «Начала» Евклида, не только Западную Европу, но и Индию и Китай^[20][21].

Некоторые античные труды, такие как «Сферика» Менелая, «О делении» Евклида, книги V–VII «Конических сечений» Аполлония и книги IV–VII «Арифметики» Диофанта, утрачены на языке оригинала и сохранились лишь благодаря переводам на арабский язык. До сих пор в арабских источниках находят новые следы утерянных греческих математических трудов^[22].

Работа Мухаммада аль-Хорезми, выполненная между 813 и 833 годами в Багдаде, стала поворотным моментом в развитии математики. В заглавии своей книги «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» он ввёл термин «алгебра», обозначив её как отдельную дисциплину. В отличие от предыдущих арифметических традиций, его работа заложила основы систематического изучения уравнений, используя абстрактные алгебраические термины. Это стало значительным отходом от греческой математики, ориентированной на геометрию, и позволило рассматривать числа и геометрические величины как единые алгебраические объекты. Новая концепция открыла дорогу дальнейшему развитию математики и её применению в различных сферах^[23]. Его наследие закрепило за ним почётное звание «отца алгебры»^[24].

Преемники аль-Хорезми начали систематическое применение арифметики к алгебре, алгебры к арифметике, обеих — к тригонометрии, алгебры — к евклидовой теории чисел, алгебры — к геометрии и геометрии — к алгебре. Эти приложения открывали путь к формированию новых дисциплин и разделов математики. Так возникли алгебра многочленов, комбинаторика, современная элементарная теория чисел, геометрические и численные методы решения уравнений, к этому же относится и превращение теории диофантовых уравнений в целых числах в самостоятельный раздел, отделившийся от теории уравнений в рациональных числах^[25].

В дальнейшем труды аль-Хорезми были переведены на латинский и до XVI века использовались в европейских университетах как основные учебники по математике^[26][27][28].

Аль-Хорезми также много лет возглавлял «Дом мудрости» в Багдаде, ставший с начала IX века научным центром халифата, в который халифами приглашались виднейшие учёные со всего исламского мира. В IX—X веках большинство багдадских учёных были выходцами из Средней Азии^[c] или сабиями^[d][29] — одной из защищённых по Корану религиозных групп^[30]. К X веку ряд провинций халифата, сохраняя номинальную власть багдадского халифа, обретают фактическую независимость. В это время на востоке возникают новые научные центры: в Бухаре, где обучался Ибн Сина; в Гургандже, где он работал совместно с аль-Бируни в Академии Мамуна; в Газне, где также работал аль-Бируни; в Каире, где работали Абу Камил и Ибн аль-Хайсам. После сельджукских завоеваний в XI веке научными центрами становятся Исфахан и Мерв^[e], где работает Омар Хайям^[29][31]. В это же время появляются и распространяются высшие учебные заведения нового типа — медресе^[32], в которых первоначально преподаются исключительно религиозные дисциплины, однако со временем в учебные программы добавляются математика и другие предметы^[33].

На западе исламского мира, в андалусских городах Кордове, Севилье, Малаге и Гранаде, сформировались свои научные центры — в них действовали университеты, где преподавались математика и другие дисциплины. Библиотека Кордовы насчитывала более полумиллиона арабских рукописей. После захвата Толедо испанцами в 1085 году, в XII веке начинаются масштабные переводы арабских трудов на латынь. К 1091 году норманны завоёвывают Сицилийский эмират, который также становится важным центром передачи знаний в Европу. На латинский и иврит переводятся сотни книг и рукописей, включая труды аль-Хорезми, аль-Кинди, аль-Фараби, Сабита ибн Курры и других^[34][35]. Завоевания исламских земель были не единственным путём передачи знаний в Европу. В конце XII века итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) обучался у мусульманских учителей в Алжире и посетил многие исламские страны^[10][36]. Опираясь на алгебраические методы и практические примеры аль-Хорезми, Абу Камиля, Ахмеда ибн Юсуфа, аль-Караджи и Ибн аль-Хайсама, Фибоначчи создал революционные для Европы труды по математике^[37][38][39].

В XIII веке после уничтожения монголами Бухары, Гурганджа, Исфахана и Мерва, разграбления Газни, а также уничтожения Багдада в ходе Жёлтого крестового похода (1256—1260), и захвата испанцами Кордовы и Севильи в ходе Иберийских крестовых походов (1212^[f]—1266^[g]) мусульмане теряют свои крупнейшие научные центры и библиотеки, что отождествляется некоторыми историками с концом Золотого века ислама^[40][41][42]. Стивен Датч пишет, что Багдад был одним из самых блестящих интеллектуальных центров мира, а его разграбление положило конец интеллектуальному расцвету исламской цивилизации: «Представьте себе Афины Перикла и Аристотеля, уничтоженные ядерным оружием, и вы поймёте всю чудовищность удара. Монголы засыпали оросительные каналы и оставили Ирак слишком безлюдным, чтобы их можно было восстановить»^[43]. Два миллиона мусульман были убиты, «Дом Мудрости» уничтожен, а река Тигр стала «чёрной от смытых с рукописей чернил» и «красной от крови учёных и философов»^[44].

Уничтожение научных и образовательных центров на востоке привело к утрате огромного количества ценных знаний и подрыву экономики, что нанесло серьёзный удар по развитию математики в исламском мире^[45][46][47]. А потеря мусульманами аль-Андалуса была фатальной для дальнейшего развития математики на западе^[45], где последним математиком с оригинальными работами стал Ибн аль-Банна (1256—1321)^[48]. Огромные потери рукописей, по-видимому, способствовали распространению жанра энциклопедий — попытке сохранить уцелевшие знания. Однако создание энциклопедий и кратких изложений помогало лишь сохранять достигнутое и мало способствовало дальнейшему развитию науки^[47][49].

После монгольского нашествия в исламском мире начался расцвет оккультизма^[50]. Поддержка и финансирование науки монгольскими ханами и их преемниками были направлены на геомантию, которая считалась «земной астрологией» и математической оккультной наукой, и саму астрологию. Косвенно благодаря этому своё развитие получили и необходимые для изучения небесных тел астрономия и математика (десятичные дроби, тригонометрия, численные методы). Развитие научных центров теперь было связано с обсерваториями (Марагинская обсерватория, Обсерватория Улугбека, Константинопольская обсерватория Такиюддина), которые использовались для астрологических наблюдений^{[51][52][53][54]}. Кроме того, данные направления науки развивались и при мечетях благодаря появлению в XIII веке должности муваккитов, отвечавших за определение времени молитв и выполнение других религиозных задач, требовавших астрономических расчётов^[55][56].

После разрушения Багдада благодаря Насир ад-Дину ат-Туси (1201—1274), который смог вынести из города часть ценных рукописей, Мераге на период второй половины XIII века становится новым крупным научным центром, но уже к следующему веку наука там приходит в упадок^[57][58][59]. В XIV веке дамаскский муваккит Ибн аш-Шатир создаёт новую математическую модель движения планет, которую через два столетия воспроизведёт, перенеся при этом центр Вселенной на Солнце, Николай Коперник^[h][61][62]. Севернее Дамаска, с обретением турецкими бейликами независимости в крупных анатолийских городах расцветает интеллектуальная жизнь. Местные беи приглашают учёных и поощряют их деятельность, строятся медресе и библиотеки^[63], происходит научно-культурный обмен с греческим населением. С возвышением Османской империи данная тенденция лишь усиливается. Научные труды исламского мира переводятся на греческий, а затем на латынь и другие европейские языки. Бывшие византийские территории становятся главным путём передачи знаний из исламских стран в Европу^[10].

В XV веке в Центральной Азии происходит Тимуридский Ренессанс. В это время формируется ещё один крупный научный центр — Самарканд. Здесь Джамшид аль-Каши (1380—1429) своим трактатом «Ключ арифметики» поднимает вычислительную математику на новую высоту. Однако период возрождения завершается со свержением математика и султана Мавераннахра Улугбека (1394—1449). Его ученик Али аль-Кушчи (1403—1474) прибывает в столицу Османской империи^[57][64][1], где сперва преподаёт в Медресе Сахн-и Семан, а затем становится главой Медресе Айя-София^[65]. Низам-ад-дин аль-Бирджанди (?—1525), ученик другого представителя самаркандской школы, Мансура аль-Каши, продолжил научную традицию в Сефевидском государстве^[66][67]. Другие самаркандские учёные, включая внука аль-Кушчи, Хафиза Кухаки^[i], попали в Империю Великих Моголов, где традиции их школы развивались в течение нескольких столетий, в частности, Савай Джай Сингхом^[7][68].

В Османской империи формирование научного центра, подобного Обсерватории Улугбека, было прервано из-за противодействия исламского духовенства. Оно резко выступало против астрологии — гадательной магии, которая, тем не менее, служила для правителей и светских чиновников важным стимулом к развитию крупных и дорогостоящих обсерваторий. Ситуация усугубилась после неудачного астрологического предсказания Такиюддина аш-Шами (1526—1585) относительно крупной кометы: вместо предсказанного благополучия и процветания в империи разразилась эпидемия чумы, унёсшая жизни многих видных деятелей. Обсерватория Такиюддина была разрушена в 1580 году, чтобы предотвратить её дальнейшее использование в астрологических целях и прекратить «пустую трату средств»^[53][69].

С эпохой европейского колониализма государства, в которых находились научные центры исламского мира, столкнулись со значительным сокращением доходов от торговли, инфляцией из-за колоссального притока драгоценных металлов из колоний европейских стран и усилившейся конкуренцией со стороны европейских держав. Вследствие этого усилился феодализм, призванный сохранить обороноспособность и устойчивость государства, всё больше средств требовала военная сфера, тогда как практическая польза от финансирования науки оставалась неочевидной. К этому времени исламская математика достигла критической точки развития и остановилась на уровне, которого Европа достигнет лишь к XVII веку. Для дальнейшего прогресса требовались революционные реформы, подобные тем, что впоследствии осуществили в христианском мире Ферма и Декарт. Теория чисел нуждалась в открытии метода бесконечного спуска, а алгебраическая геометрия — в новой удобной и эффективной символике. Сложные уравнения стали настолько громоздкими, что их изложение занимало до пятидесяти страниц. Научная революция возможна в обществе, находящемся на стадии развития, но не в период экономического и социального упадка. В результате исламские страны, как и другие регионы мира, значительно отстали от Европы в научно-техническом прогрессе^{[45][70][71][72]}.

Хотя сочинения и фундаментальные работы исламских математиков высоко ценились в Европе в эпоху Высокого и позднего Средневековья, к концу эпохи Возрождения отношение к ним изменилось^[73]. В Германии и Франции XVIII-XIX веков преобладал идеалогически предвзятый подход, согласно которому Восток и Запад противопоставлялись не как географические регионы, а как исторические сущности. Рационализм рассматривался как сущность Запада, в то время как романтическая тенденция «возвращения к Востоку», популярная среди французских философов, выражала критику науки и рационализма. Немецкая филология придала этому «научный» вид, распространив методы сравнительной грамматики на историю науки и создав иерархию культур. В рамках этой системы народы с арийскими языками признавались «благородными», а все остальные считались менее совершенными. Это привело к систематической маргинализации вклада арабоязычных ученых и утверждению евроцентризма в историографии XIX века^[74].

Западные историки XVIII и XIX века считали, что классическая наука и математика были уникальными явлениями Запада. Хотя некоторые математические достижения арабских ученых иногда признавались, их часто рассматривали как «внеисторические» или интегрированные только в той мере, в какой они способствовали науке, которая считалась по своей сути европейской. Эти достижения часто воспринимались как технические инновации в греческом наследии, а не как открытия совершенно новых ветвей математики. Впоследствии это привело к евроцентристскому взгляду среди большинства математиков и историков математики, проложившим прямую линию развития от греческой математики к современной западной математике, а достижения исламской математики остались без внимания и были частично забыты^[73][75].

В философской работе француза Эрнеста Ренана арабская математика представляется лишь отражением арийской, а именно «отражением Греции, скомбинированным с персидскими и индийскими влияниями». По мнению Пьера Дюгема, «арабская наука лишь воспроизводила учения, полученные от греческой науки». Арабские математические труды также критикуются за недостаток строгости и чрезмерное внимание к практическим приложениям и расчётам. Как писал Поль Таннери, арабская алгебра «ни в коей мере не превзошла уровень, достигнутый Диофантом». Западные математики, по их мнению, пошли по совершенно иному пути как в методах, так и в конечных целях, и «отличительной чертой западной науки, начиная с её греческих истоков и до современного возрождения, является соответствие строгим стандартам»^[76].

Такое восприятие арабской традиции тесно переплетается с господствующей в историографии дихотомией между «средневековым» и «современным», которая долгое время считалась ключевым инструментом периодизации истории математики. Она закрепилась в трудах классиков — от Монтюкла до Бурбаки. Они исходили из постулата о «возникновении современной математики» и допускали промежуточное понятие «математики Возрождения», которое, однако, скорее осложняло, чем проясняло картину. В результате исламская математика IX–XVI веков, как и достижения латинского мира XIII–XV веков, оказывались либо на периферии, либо вовсе исключались из общей схемы^[77].

Хотя уже в конце XVIII века отдельные европейские мыслители, такие как Иоганн Готфрид Гердер, Иоганн Вольфганг фон Гёте, Курт Шпренгель и Александр фон Гумбольдт, признавали вклад исламской цивилизации в развитие наук, по-настоящему достижения исламских математиков были заново открыты западными историками математики только во второй половине XIX века. Монтюкла в своей всеобъемлющей «Истории математики» 1758 года ошибочно писал, что арабоязычные математики имели дело с уравнениями только второй степени — эта позиция долгое время оставалась общепринятой в европейском научном сообществе, однако в 1851 году Франц Вёпке в своей диссертации по «Алгебре» Омара Хайяма опроверг это утверждение. Он опубликовал переводы ранее неизвестных математических рукописей, таких как «Алгебра» аль-Караджи. Вместе с Жан Жаком Седийо, Луи-Пьер-Эженом Седийо, а также Жозефом Туссеном Рено он считается основателем научно-исторических исследований исламской математики. Эйльхард Видеманн в своих многочисленных работах занимался историей арабоязычных наук, особенно астрономии и математики, на которой она основана. В 1927 году в своём «Введении в историю науки» Джордж Сартон первым предпринял образцовую попытку исчерпывающе систематизировать научное наследие средневекового исламского мира, тем самым преодолев европоцентристскую парадигму^[78].

Несмотря на серьёзный прогресс с XIX века в исследованиях истории математики средневекового исламского мира, публикацию и изучение значительного количества важных исламских трудов, их включение в общую историю математики долгое время оставалось достоянием узкого круга специалистов и не влияло на устоявшийся нарратив в публичном пространстве. Ситуация изменилась лишь во второй половине XX века, когда исламский мир начал активно требовать признания своего вклада, частично из-за чего в 1950-1960-х годах развернулись масштабные совместные исследовательские программы, которые быстро углубили и расширили работы по изучению и переводу исламских математических текстов^[79].

По утверждению Виктора Джозефа Каца: «Полную историю математики средневекового ислама пока невозможно написать, поскольку многие из этих арабских рукописей остаются неизученными»^[80]. Однако современные историки математики, такие как Рошди Рашед, Джон Леннарт Берггрен и Ян Хогендейк, интенсивно занимаются математикой периода исламского расцвета, так что на сегодняшний день существует более полная и ясная картина научного прогресса той эпохи^[73].

В современных научных работах наблюдается расхождение в наименовании математики средневекового исламского мира. Некоторые исследователи называют её «арабской математикой», подчёркивая, что арабский язык был универсальным языком науки. Однако этот термин может вводить в заблуждение, поскольку он также отсылает к арабам как к этнической группе, тогда как в развитии математики рассматриваемого периода участвовало большое количество представителей и других народов. Матвиевская и Рыбников использовали выражение «математика в странах средневекового Ближнего и Среднего Востока» и его аналоги, однако этот вариант географически неточен и довольно громоздок. Поэтому в современных исследованиях чаще используется термин «исламская математика», где слово исламский подразумевает общую культурную основу. Производные от этого термины, такие как «исламский математик», не содержат утверждения о религиозной принадлежности человека. Учёные исламских стран были преимущественно мусульманами, но не исключительно^[2][3][81].

Числовая система в исламском мире прошла значительное развитие, начиная с использования буквенной абджадии и внедрения десятичной позиционной системы в VIII веке. Математики исламского мира, такие как аль-Махани и Абу Камил, переосмыслили древнегреческие представления о числах и величинах. Они развили арифметический подход к работе с иррациональными числами, отказавшись от греческого подхода, основанного на геометрии. Омар Хайям теоретически обосновал расширение понятия числа до положительных действительных чисел. Аль-Самуал сформулировал общие правила работы с отрицательными числами и использовал их для деления многочленов.

Дроби в исламской математике, в отличие от древнегреческой, считались полноценными числами. Именно в исламском мире берут своё начало горизонтальная черта в записи дробей, а также десятичные дроби. В странах ислама использовались различные системы счёта. Пальцевый счёт был популярен в торговле. Шестидесятеричная система счисления, унаследованная от вавилонян, применялась в астрономии. Аль-Бируни в 1000 году впервые разделил час на минуты, секунды и терции. Десятичная позиционная система была популяризирована аль-Хорезми в IX веке. Его книга «Об индийском счёте» способствовала распространению этой системы в Халифате и позже в Европе. Аль-Уклидиси в X веке адаптировал методы вычислений для работы на бумаге. Эти достижения сыграли важную роль в дальнейшем развитии алгебры и других математических дисциплин.

Алгебра зародилась в IX веке благодаря труду аль-Хорезми, который представил новый математический подход в своей книге «Краткая книга об исчислении путем восполнения и уравновешивания». Его книга состоит из теоретической части, где излагаются основы алгебры и терминология, раздела с правилами преобразования уравнений, а также заключительных глав, посвящённых практическим приложениям. Таким образом, его труд был не только теоретическим трактатом, но имел и практическое применение, направленное на решение задач в таких областях, как торговля, распределение наследства и земельные измерения^[23]

Основное внимание аль-Хорезми уделил линейным и квадратным уравнениям, разработав методы их решения и доказав общие правила для решения уравнений вида ${\displaystyle ax^{2}+bx=c}$. В его время отрицательные коэффициенты не применялись, и только в XVI веке Михаэль Штифель расширил их использование. Подход аль-Хорезми отличался от методов его предшественников, таких как Диофант Александрийский, так как он стремился к общим принципам, а не решению частных задач. Благодаря нему алгебра стала самостоятельной дисциплиной, а не просто набором вычислительных приемов.

Перевод книги аль-Хорезми на латынь в XII веке способствовал распространению алгебры в Европе. Его методы оказались удобными для решения числовых и геометрических задач, что помогло развитию математики эпохи Возрождения. Само слово «алгебра» произошло от арабского «аль-джабр», означающего «восполнение». Позже идеи аль-Хорезми развили Абу Камил и аль-Караджи, которые расширили алгебру на иррациональные числа и систематизировали операции с многочленами, заложив основу будущей символьной алгебры.

В XII–XIII веках Омар Хайям разработал геометрический метод решения кубических уравнений, а Шараф ад-Дин ат-Туси заложил основы метода аппроксимации корней. Со временем алгебра эволюционировала к символической форме, используемой сегодня, что прослеживается в трудах Ибн аль-Банны и аль-Каласади. Таким образом, исламская математика сыграла ключевую роль в формировании алгебры как науки, обеспечив её дальнейшее развитие в Европе и во всем мире. Она заложила основу для достижений в различных областях математики, включая теорию чисел, вычислительную математику и диофантовы уравнения^[82].

Развитие теории чисел в исламском мире началось с VIII века и сыграло важную роль в истории математики. Учёные исламской цивилизации не только унаследовали знания античности, но и заложили основы многих направлений современной теории чисел. Их интерес к числам был не только практическим, но и философским: числа воспринимались как проявление божественного порядка, отражающего устройство мира. Числовые исследования сопровождались глубокими размышлениями о природе чисел, что способствовало синтезу науки, философии и религии.

Философские и числовые идеи ярко проявились в трудах Братьев чистоты, которые связывали числа с метафизикой и теологией. Они интерпретировали монотеизм через число один, а устройство космоса — через возрастающую последовательность натуральных чисел, подчеркивая, что всё сущее исходит от Бога, как числа от единицы. Их подход был близок к пифагорейской традиции, но с акцентом на исламскую философию. Арифметика, по их мнению, выражала природу разума, а числа служили средством познания.

Практические достижения исламских математиков включали значительный вклад в изучение дружественных и совершенных чисел. Сабит ибн Курра разработал формулу генерации дружественных пар, опередив открытия европейской науки на многие столетия. Камал ад-Дин аль-Фариси, Ибн аль-Банна и Мухаммад Бакир Язди продолжили эту линию, изучая такие числа и находя новые пары. Исламские математики также углубили понимание совершенных чисел, выдвигая гипотезы и формулируя новые теоремы.

Теоретико-числовые методы, разработанные в исламском мире, стали основой для дальнейшего развития математики. Аль-Хазин предложил факторизацию как метод решения диофантовых уравнений, а аль-Худжанди ещё в X веке пытался доказать случай Великой теоремы Ферма для ${\displaystyle n=3}$. Аль-Караджи впервые применил математическую индукцию для доказательства тождеств, а аль-Самуал развил этот метод. Также разрабатывались оригинальные концепции, такие как равновесные числа, продолжая античные идеи и углубляя теоретические представления о свойствах делителей и симметрии в числах.

Среди ключевых задач, решаемых с помощью тригонометрии в исламском мире, были вычисление времени, предсказание астрономических явлений, определение географических координат и направления на Мекку. Особенно активно развивалась сферическая тригонометрия, которая применялась в астрономии и геодезии. В исламском мире были разработаны новые теоремы и методы, позволившие значительно повысить точность расчётов. Именно исламские учёные превратили тригонометрию из вспомогательного инструмента астрономии в самостоятельную науку.

В IX веке Хабаш аль-Хасиб и Мухаммад аль-Баттани дополнили индийские функции синуса и косинуса новыми: тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом. Первоначально они определялись через длины теней от гномонов, но к X веку аль-Фараби связал их с синусами и косинусами, а аль-Баттани сформулировал основные соотношения. Окончательное определение функций через единичную окружность дал Абу-ль-Вафа. В этот же период были доказаны важные тригонометрические теоремы, включая теорему синусов, которая позволила заменить в астрономических расчётах греческую теорему Менелая.

Ибн Ирак в X веке впервые описал полярный треугольник. Ибн Юнус открыл формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, что значительно облегчало вычисления. Тригонометрические таблицы с высокой точностью составляли аль-Хорезми, аль-Баттани, Ибн Юнус, аль-Каши, который в XV веке рассчитал ${\displaystyle \sin 1^{\circ }}$ с рекордной точностью 18 знаков после запятой в десятичной форме, и Такиюддин аш-Шами, который в XVI веке впервые использовал десятичные дроби для составления тригонометрических таблиц^[83].

В XI веке аль-Бируни систематизировал тригонометрию в своих трудах, разрабатывая методы нахождения углов и расстояний, а также уже приблизительно вычислил радиус Земли. Ибн Муаз аль-Джайяни написал первый известный трактат по сферической тригонометрии^[84]. Завершил формирование тригонометрии как науки Насир ад-Дин ат-Туси в XIII веке, изложив её в систематическом виде и разработав методы решения сложных сферических задач. К этому времени были открыты все основные тригонометрические теоремы.

Исаак Ньютон создал свою версию исчисления в 1665–1670 годах. Разрабатывая степенные ряды для представления функций, он использовал уже известную формулу интегрирования степенной функции — одну из центральных идей того, что впоследствии стало математическим анализом. Ньютон не знал, что эта формула была известна уже сотни лет в другой части света. Она была открыта в Египте около 1000 года Ибн аль-Хайсамом и позднее встречалась в работах других исламских авторов^[85].

Формула суммы квадратов была разработана Архимедом в 250 году до н. э., суммы кубов — Ариабхатой около 500 года н.э. Формула для квадратов проста, для кубов – очевидна при проведении экспериментов, однако формула для суммы четвертых степеней совсем неочевидна. Ибн аль-Хайсам первым вывел эту формулу, используя метод, который легко обобщается для определения общей формулы суммы любых целых степеней. Фактически он уже применял интегрирование многочленов для вычисления объёмов, однако его не интересовали многочлены выше четвёртой степени^[86].

Таким образом, некоторые основные идеи математического анализа были известны в исламском мире задолго до Ньютона и Лейбница. Однако исламские математики не объединили разрозненные идеи, относящиеся к математическому анализу, а использовали их только в отдельных случаях. Поэтому Ньютон и Лейбниц по праву считаются его создателями^[87].

Арабский филолог Халиль ибн Ахмад аль-Фарахиди первым обратил внимание на возможность использования стандартных фраз открытого текста для дешифрования. Он предположил, что первыми словами в письме на греческом языке византийскому императору будут «Во имя Аллаха», что позволило ему прочитать оставшуюся часть сообщения. Позже он написал «Книгу тайного языка» с описанием этого метода^[88].

Книга математика аль-Кинди под названием «Трактат о дешифровке криптографических сообщений» положила начало криптоанализу, стала самым ранним известным применением статистического вывода^[89] и представила несколько новых методов взлома шифров, в частности частотный анализ^[90][91]. В 855 году выходит «Книга о большом стремлении человека разгадать загадки древней письменности» арабского учёного Ибн Вахшии, одна из первых книг о криптографии с описаниями нескольких шифров, в том числе с применением нескольких алфавитов^[92].

Тюркский учёный Сули в X веке написал книгу «Руководство для секретарей», где изложил инструкции по шифрованию записей о налогах, что подтверждает распространение криптографии в обычной гражданской жизни^[92]. Ибн Адлан и Ибн ад-Дурайхим развили труды аль-Кинди.

Египетский полимат аль-Калкашанди в 1412 году опубликовал первый в истории труд по криптологии, объединив одновременно криптографию и криптоанализ. В своём труде «Субх аль-аша» он впервые описал методы шифрования, включая подстановку, перестановку и полиалфавитный шифр, где одной букве соответствует несколько вариантов замены. Он также предложил новые методы криптоанализа, такие как использование таблиц частотности букв и анализ невозможных сочетаний букв^[93][94].

В словарь криптологии арабоязычные авторы внесли такие понятия, как алгоритм и шифр^[95][96].

В ранней исламской культуре знание рассматривалось как средство постижения божественной истины, а не как противопоставление религиозному учению. Образование и научные исследования поощрялись, а учёные, проявлявшие творческие способности, нередко получали поддержку со стороны правителей, совмещавших светскую и религиозную власть. Математики, в свою очередь, всегда начинали и завершали свои труды обращениями к Богу и время от времени даже упоминали божественную помощь в своих исследованиях. В отличие от греческих предшественников, исламские учёные уделяли внимание не только теоретическим вопросам, но и практическим приложениям науки, ориентированным на потребности повседневной жизни^[98]. В исламе, как ни в одной другой религии в истории человечества, научные методы применялись для решения широкого круга практических задач, поставленных религией^[99]. К ним относятся:^[100][101]

1. Расчёт религиозного лунного календаря.
2. Определение точного времени для совершения намаза.
3. Определение направления на Мекку для совершения намаза.
4. Распределение имущества между наследниками по законам шариата.
5. Расчёт части имущества состоятельных мусульман для распределения.
6. Расчёт геометрических форм и узоров в исламской архитектуре и искусстве.

Первые три решались параллельно как астрономами с помощью сложных математических методов, так и правоведами более простыми методами народной астрономии. Но оба подхода требовали применения различных разделов прикладной математики, и конфликты между двумя группами были редки. Решения задач на вычисление закята и доли наследников описывались в юридических и арифметических трактатах. Геометрические орнаменты редко упоминались в письменной форме, но сохранились во множественном количестве в архитектурных памятниках^[101][102].

Для определения дат религиозных праздников, включая священный месяц Рамадан и другие значимые события, мусульмане пользуются лунным календарём. Год исламского календаря состоит из 12 месяцев, начало каждого из которых определяется первым появлением лунного серпа. Поскольку двенадцать лунных месяцев составляют примерно 354 дня, исламский год короче солнечного приблизительно на 11 дней. Вследствие этого месяцы исламского календаря постепенно смещаются по отношению к временам года и проходят через все сезоны в течение примерно 33 солнечных лет^[103]. Существовала потребность перевода дат из календарей других цивилизаций в исламский календарь^[104]. Кроме того, в 1079 году Омар Хайям разработал солнечный календарь, который по точности превосходит даже современный григорианский календарь. Аналогично лунному исламскому календарю, его летоисчисление начинается с хиджры^[105].

В традиционной практике правоведы определяли начало месяца лунного календаря по фактическому наблюдению полумесяца на небе. Астрономы, в свою очередь, использовали расчётные методы, позволяющие предсказать возможность его появления, основываясь на положении Солнца и Луны относительно горизонта. Для этого применялись критерии, включающие видимое угловое расстояние между Солнцем и Луной, разницу во времени их захода и высоту Луны над горизонтом в момент заката. На основе этих параметров составлялись таблицы, а полученные данные публиковались в ежегодных эфемеридах и астрономических альманахах^[103].

Время пяти ежедневных молитв в исламе определяется астрономическими явлениями и зависит от положения Солнца на небе. Оно изменяется в зависимости от географической широты и, если не измеряется относительно местного меридиана, также от долготы. Каждая из пяти обязательных молитв может быть совершена в пределах определённого промежутка времени, при этом предпочтительным считается как можно более раннее её исполнение. Исламский день начинается с магриба — вечерней молитвы, совершаемой после захода Солнца. Вторая молитва — иша, наступает с началом темноты. Третья — фаджр, совершается на рассвете, с появлением первых признаков утреннего света. Четвёртая — зухр, полуденная молитва, начинается вскоре после астрономического полудня, когда Солнце пересекает местный меридиан. Пятая — аср, послеполуденная молитва, совершается после того, как длина тени предмета превышает свой полуденный минимум на величину, равную длине самого предмета. В первые века хиджры время молитв определялось визуальными наблюдениями — по длине теней днём, а также по сумеркам и положению звёзд ночью и на рассвете. Такими наблюдениями пользовались муэдзины, призывавшие к молитве с минаретов мечети^[106].

Определение же точных моментов начала молитв в часах и минутах требовало применения математических методов сферической астрономии. Исламские учёные располагали как приближенными, так и точными формулами для вычисления времени по высоте Солнца или звёзд. Эти методы, которые восходили к индийским источникам, улучшались исламскими математиками на протяжении веков. С IX века астрономы начали составлять таблицы времени молитв, в которых указывались длина тени, высота Солнца, продолжительность сумерек и интервалы между молитвами для каждого дня года. Более поздние таблицы, включавшие десятки тысяч строк, использовались для хронометража по Солнцу и звёздам^[56].

Развитие методов вычисления привело к созданию обширных сборников таблиц по сферической астрономии. Первым таким сборником, составленном для широты Каира, считается сборник Ибн Юнуса, состоящий из 200 страниц по 180 строк в каждой. Его целью было определение времени по Солнцу и звездам для регулирования времени пяти ежедневных молитв, а также для других гражданских и астрономических целей. В нём содержались такие таблицы, как:^[107]

• таблицы высот Солнца для заданных азимутов и долготы
• таблицы поправок на астрономическую рефракцию
• таблицы для ориентации вентиляционных башен, предназначенных для направления прохладных северных ветров внутрь помещений
• таблицы времени после восхода Солнца и значений часовых углов, выраженных функциями от долготы Солнца на эклиптике и его высоты над горизонтом в момент наблюдения
• таблицы азимутов Солнца от тех же двух параметров — долготы Солнца на эклиптике и его высоты над горизонтом

Для вычисления времени молитв фаджр и магриб использовались таблицы продолжительности утренних и вечерних сумерек. В сочетании с таблицами продолжительности светового дня они позволяли также определять длительность ночи^[108]. Более сложную задачу представляет собой определение времени послеполуденной молитвы аср. Существовала необходимость в отдельных таблицах для молитвы аср, где для каждого градуса солнечной долготы фиксировалась соответствующая высота Солнца на момент времени начала этой молитвы^[109].

При составлении тригонометрических таблиц для сферической астрономии нередко требуется высчитывать одни и те же комбинации тригонометрических функций, но с разными аргументами. Например, на практике часто возникают выражения вида:

${\displaystyle {\frac {\tan \theta \cdot \sin \varepsilon }{R}}\quad }$и${\displaystyle \quad \arctan \!\left({\frac {\tan \varepsilon \cdot \sin \theta }{R}}\right)}$

где ${\displaystyle \varepsilon \approx 23{\tfrac {1}{2}}^{\circ }}$, ${\displaystyle R}$ это радиус окружности при определении тригонометрических функций, а ${\displaystyle \theta }$ это параметр, который принимает различные значения^[110]. Исламские математики обратили внимание на этот факт и начали составлять таблицы вспомогательных функций, чтобы сократить объём вычислительной работы при составлении тригонометрических таблиц. Уже в середине IX века Хабаш аль-Хасиб составил таблицу для упомянутых раннее функций для ${\displaystyle R=60}$, позднее в том же веке аль-Фадл ан-Найризи составил таблицу для ${\displaystyle R=150}$. В конце X века, учитель аль-Бируни, принц Абу Наср, составил таблицы четырёх подобных вспомогательных функций при ${\displaystyle R=1}$. Примерно в то же время в трудах Ибн Юнуса встречаются вспомогательные функции двух аргументов, в которых один аргумент, широта, принимает лишь значение широты Каира или, иногда, Багдада^[111]. Также в его сборнике имеются таблицы, в которых приведены высота Солнца в моменты, когда оно находится точно на юге, востоке или западе, а также склонение Солнца ${\displaystyle \delta (\lambda )}$ и продолжительность светового дня для каждого градуса солнечной долготы ${\displaystyle \lambda }$^[112].

С XIII века определением времени молитв занимались хранители времени (муваккиты) — специалисты-астрономы, работавшие при мечетях. В своей работе они использовали специальные приборы, такие как солнечные часы, а также астролябия и квадрант, позволявшие точно установить наступление соответствующего времени. Широко использовались астрономические таблицы^[56]. Следующий после Ибн Юнуса важный шаг в вычислении таблиц вспомогательных функций был сделан в XIV веке муваккитом при Омейядской мечети Мухаммедом аль-Халили. Перед ним стояла задача составить таблицы практически всех тех функций, которые ранее Ибн Юнус вычислил для Каира. Однако расчёты требовалось выполнить для широты Дамаска и при другом значении наклона эклиптики. Возможно, именно значительный объём работы по пересчёту таблиц Ибн Юнуса побудил аль-Халили создать универсальное решение для всех стандартных задач сферической астрономии, позволявшее составлять таблицы для определения времени в любой другой широте. Данное решение основывалось на использовании значений следующих вспомогательных функций двух аргументов:^[113]

1. ${\displaystyle f(\varphi ,\theta )=R\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \varphi }}}$, где ${\displaystyle \theta =1^{\circ },\ldots ,90^{\circ }}$; ${\displaystyle \varphi =1^{\circ },\ldots ,55^{\circ }}$, а также ${\displaystyle 21^{\circ }30'}$ (широта Мекки) и ${\displaystyle 33^{\circ }31'}$ (широта Дамаска).
2. ${\displaystyle g(\varphi ,\theta )={\frac {\sin \theta \cdot \tan \varphi }{R}}}$, для тех же значений ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \varphi }$.
3. ${\displaystyle G(x,y)=\arccos \left({\frac {xR}{\cos y}}\right)}$, где ${\displaystyle x=1,\ldots ,59}$; ${\displaystyle y=0^{\circ },1^{\circ },\ldots ,n(x)^{\circ }}$, а ${\displaystyle n(x)}$ — это наибольшее целое число, такое что ${\displaystyle x\leq \cos(n(x))}$.

Его универсальные таблицы вспомогательных функций содержат более 13 тысяч строк^[111]. Позднее османский муваккит Мухаммед аль-Кунави создал своё издание таблиц аль-Халили, переведя введение к его труду на турецкий язык. Он также расширил его таблицы, добавив новую широту ${\displaystyle 40^{\circ }30'}$ для неизвестного местоположения (широта Стамбула — ${\displaystyle 41^{\circ }}$)^[114].

Мусульмане по всему миру совершают свои ежедневные молитвы и другие религиозные обряды, обращаясь в сторону Каабы в Мекке. Задача определения киблы — точного направления на Мекку, возникла в связи с религиозными требованиями исламской религии и приобрела значительное научное значение. Её решению посвятили себя многие выдающиеся учёные исламского мира, разработавшие разнообразные методы и инструменты для определения искомого направления^[115]. В первые два века хиджры определение киблы основывалось на наблюдениях астрономических восходов и закатов небесных тел. С VIII века мусульмане начали рассматривать задачу определения киблы как проблему математической географии, требующую измерения географических координат и расчёта направления на Мекку с использованием геометрических и тригонометрических методов^[56].

В географическом смысле кибла определялась как направление на Мекку по дуге большого круга. Мусульмане унаследовали греческую традицию математической географии, включая составленные Птолемеем перечни населённых пунктов с их координатами. На основе накопленных географами данных исламские математики разработали как приближённые, так и точные методы вычисления киблы. Преимущественно они были основаны на плоской и сферической тригонометрии, но также встречались методы на основе начертательной геометрии и стереометрии. Были созданы картографические сетки, позволявшие определять направление киблы непосредственно по картам, центр которых приходился на Мекку. Другой подход заключался в использовании таблиц, указывающих направление киблы для различных местоположений. Один из таких наборов таблиц, включавший 2880 строк, был составлен муваккитом Мухаммедом аль-Халили, о котором упоминалось в предыдущем разделе. В этих таблицах приводилось направление на Мекку относительно местного горизонта для каждой широты ${\displaystyle 10^{\circ },11^{\circ },\ldots ,56^{\circ }}$ и ${\displaystyle 33{\tfrac {1}{2}}^{\circ }}$ (широта Дамаска), а также для каждой долготы, расположенной восточнее или западнее Мекки, на ${\displaystyle 1^{\circ },2^{\circ },\ldots ,60^{\circ }}$^[116][117]. Аль-Бируни в своём трактате «Определение координат городов» предложил четыре метода решения задачи нахождения киблы с использованием сферической тригонометрии. Один из предложенных им методов основывался на последовательном применении теоремы синусов к системе сферических треугольников^[115].

На сопроводительном чертеже обозначены Северный полюс (P), местоположение Мекки (A) и данное местоположение (B). Если в данной точке B определить направление на север, то, повернувшись на угол ∠PBA в соответствующую сторону, можно получить направление на Мекку. Таким образом, определение киблы сводится к вычислению угла ∠PBA. Для этого необходимо знать как наше местоположение, так и местоположение Мекки, то есть широту нашего местоположения (φ${\displaystyle _{B}}$) и широту Мекки (φ${\displaystyle _{A}}$), а также значения долготы или, по крайней мере, их разность. Зная широты, можно определить их дополнения — дуги PB и PA. Таким образом, для вычисления направления киблы требуется знать эти две дуги и угол ∠BPA, то есть две стороны сферического треугольника и угол между ними. Поскольку сферический треугольник однозначно определяется двумя сторонами и углом между ними, указанных данных достаточно для решения задачи^[118].

Аль-Бируни использует теорему синусов^[118]:

Eсли ${\displaystyle \triangle ABC}$ — сферический треугольник со сторонами a, b, c, которые противоположны углам A, B, C, то:^[j]

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}$

Абу-ль-Вафа, X век^[119]

А также правило четырёх величин^[118]:

Если ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle ADE}$ — это сферические треугольники с прямыми углами при вершинах ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ соответственно и имеют общий острый угол при вершине ${\displaystyle A}$, то выполняется соотношение:

${\displaystyle {\frac {\sin({\widehat {BC}})}{\sin({\widehat {CA}})}}={\frac {\sin({\widehat {DE}})}{\sin({\widehat {EA}})}}}$

Абу-ль-Вафа, X век^[120]

Однако применение данных теорем только к треугольнику PBA не позволяет непосредственно определить искомый угол, поскольку неизвестны ни одна из сторон, противоположных углам, ни сами эти углы. В связи с этим аль-Бируни рассматривает более общий подход, включающий построение нескольких новых сферических треугольников. Он последовательно применяет к ним данные теоремы, используя известные широты и разность долгот, чтобы вычислить промежуточные дуги и углы. В итоге аль-Бируни находит требуемую дугу, соответствующую направлению на Мекку, тем самым определяя точный азимут киблы для данного местоположения. Данный метод нахождения киблы был впервые изложен Ибн Юнусом, однако без какого-либо обоснования. Аль-Бируни впервые представил его полное изложение и доказательство в своём трактате «Канон Мас‘уда»^[121].

Аль-Хорезми посвятил половину своей книги по алгебре задачам, связанным с распределением наследства. Коранические предписания, регулирующие распределение наследства между родственниками, отличаются значительной сложностью и требуют владения арифметическими и алгебраическими методами решения уравнений первой степени. Историки науки отмечают, что лишь незначительное число математических сочинений, посвящённых данной теме, было детально изучено^[122].

Рассмотрим простую задачу из трактата аль-Хорезми, иллюстрирующую принципы исламского наследственного права^[123]:

Следующая задача из трактата аль-Хорезми несколько сложнее предыдущей и иллюстрирует применение единичных дробей для выражения более сложных долей^[125]:

Другим примером потребности в арифметических методах в исламской религии является расчёт закята, который выплачивается состоятельными представителями мусульманской общины. Размер закята с накопленных дирхамов за один год составляет 1/40 части имущества. Ибн Тахир аль-Багдади в своём трактате описал оригинальный способ вычисления:^[126]

  (a)     (b)     (c)     (d)     (e)

  7585    7583    7571    7396    7031
     34      34      14      14      6
                                     8
                                     14

Аль-Багдади отмечает, что решение для данной суммы раннее приводил аль-Хорезми, однако аль-Багдади обнаружил в нём ошибку в переводе нецелой части в шестидесятеричные дроби^[127].

Геометрический орнамент занимает особое место в культурном наследии исламской цивилизации. Сложные узоры использовались как в оформлении религиозных сооружений, так и в светской архитектуре. Широкое распространение получили композиции, основанные на сочетании различных типов многоугольников, способных к бесконечному продолжению во всех направлениях. Эти изысканные композиции, выполненные из дерева, плитки или мозаики, веками привлекали внимание путешественников и исследователей^[122][128].

Ремесленная традиция подобной степени сложности предполагает наличие значительного объёма знаний в области геометрии, даже если эти знания передавались устно от мастера к ученику и не фиксировались письменно. Лишь два мусульманских математика известны тем, что упоминали геометрический орнамент в своих сочинениях, что указывает на передачу знаний преимущественно в среде ремесленников. Абу-ль-Вафа аль-Бузджани описал методы построения правильных многоугольников, а аль-Каши рассмотрел трёхмерную ячеистую структуру, известную как мукарна^[122][129].

• Астрономия исламского Средневековья
• Исламский вклад в Европейскую цивилизацию
• Мусульманские изобретения