Восьмиугольная мозаика порядка 4

Восьмиугольная мозаика порядка 4
Тип Правильная гиперболическая мозаика
Конфигурация вершины 84
Символ Шлефли {8,4}
r{8,8}
Символ Витхоффа 4 | 8 2
Симметрии [8,4], (*842)
[8,8], (*882)
Диаграммы Коксетера — Дынкина
или
Двойственные соты Квадратная мозаика порядка 8
Свойства Изогональная, изотоксальная, изоэдральная

Восьмиугольная мозаика порядка 4 — это правильная мозаика на гиперболической плоскости. Мозаика представлена символом Шлефли {8,4}. Её шахматная раскраска может быть названа восьми-восьмиугольной мозаикой и её смвол Шлефли r{8,8}.

Однородные построения

Имеется четыре однородных построения этой мозаики. Три из них осуществляются удалением зеркала из калейдоскопа [8,8] . Удаление зеркала между точками порядка 2 и 4 даёт [8,8,1+] с симметрией [(8,8,4)] (*884). Удаление двух зеркал оставляет симметрию *4444.

Четыре однородных построения 8.8.8.8
Однородная
раскраска
Симметрия [8,4]
(*842)
 [8,8]
(*882)
= 		[(8,4,8)] = [8,8,1+]
(*884)
=

=

[1+,8,8,1+]
(*4444)
=
Символ {8,4} r{8,8} r(8,4,8) = r{8,8}1⁄2 r{8,4}1⁄8 = r{8,8}1⁄4
Диаграмма
Коксетера 		=

=

= =
=

Симметрия

Эта мозаика представляет гиперболический калейдоскоп из 8 зеркал, находящихся на краях правильного шестиугольника. Эта симметрия в орбифолдной нотации есть (*22222222) или (*28) с 8 пересечениями зеркал порядка 2. В нотации Коксетер мозаика может быть представлена как [8*,4], которая получается удалением двух зеркал (проходящих череpез центр восьмиугольника) в симметрии [8,4]. Добавление зеркала, проходящего через 2 вершины восьмиугольной фундаментальной области определяет трапецоэдральную симметрию *4422. Добавление 4 зеркал, проходящих через вершины, определяет симметрию *444. Добавление 4 зеркал, проходящих через стороны, определяет симметрию *4222. Добавление всех 8 зеркал приводит полной симметрии *842.


*444
*4222
*832

Фундаментальную область калейдоскопа можно рассматривать как двухцветную восьмиугольную мозаику, представлющую зеркальные образы фундаментальной области. Эта раскраска представляет однородную квазиправильную мозаику r{8,8}, которую можно назвать восьми-восьмигональной мозаикой.

Связанные многогранники и мозаики

Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных мозаик с восмиугольными гранями. Последовательность начинается с восьмиугольной мозаики, имеющей символ Шлефли {8,n} и диаграмму Коксетера , и уходит в бесконечность.

Правильные мозаики {n,8}
Сферические Гиперболические мозаики

{2,8}
{3,8}
{4,8}
{5,8}
{6,8}
{7,8}
{8,8}
 ...
{∞,8}

Эта мозаика также топологически является частью последдовательности правильных многогранников и мозаик с четырьмя гранями в вершине. Последовательность начинаетс с октаэдра, имеет символ Шлефли {n,4} и диаграмму Коксетера и распространяется на бесконечность.


{3,4}
{4,4}
{5,4}
{6,4}
{7,4}
{8,4}
 ...
{∞,4}

См. также


Примечания

Литература

  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 19 The Hyperbolic Archimedean Tessellations) // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 0-486-40919-8. — .

Ссылки

Эта статья взята у (из) Википедия. Текст лицензируется по Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0. К медиа файлам могут применятся дополнительные условия.