Треугольная мозаика порядка 8

Треугольная мозаика порядка 8
Тип Гиперболическая правильная мозаика
Конфигурация вершины 38
Символ Шлефли {3,8}
(3,4,3)
Символ Витхоффа 8 | 3 2
4 | 3 3
Симметрии [8,3], (*832)
[(4,3,3)], (*433)
[(4,4,4)], (*444)
Диаграммы Коксетера — Дынкина или
Двойственные соты восьмиугольная мозаика
Свойства Изогональная, изотоксальная, изоэдральная

Треугольная мозаика порядка 8 — это правильная мозаика на гиперболической плоскости. Мозаика имеет символ Шлефли {3,8}, у неё восемь правильных треугольников вокруг каждой вершины.

Однородные раскраски

Полусимметрия [1+,8,3] = [(4,3,3)] может быть показана чередующейся двухцветной раскраской треугольников:

Симметрия

Исходя из симметрии [(4,4,4)], имеется 15 подгупп с малым индексом (7 уникальных), получаемых удалением зеркального отражения и операцией альтернации. Зеркала могут быть удалены, если их порядки ветвей все чётные, и удаление приводит к уменьшению порядков соседних ветвей вдвое. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка в месте пересечения зеркал. На рисунках фундаментальные области выкрашены с чередованием цветов и зеркала находятся на границах между областями разного цвета. Добавление 3 зеркал в каждую фундаментальную область создаёт симметрию 832. Группа с индексом 8 [(1+,4,1+,4,1+,4)] (222222) является коммутантом группы [(4,4,4)].

Подгруппа [(4,4,4*)] с индексом 8, построенная из (2*2222) путём удаления точек вращения, становится (*22222222).

Симметрия может быть удвоена до симметрии 842 путём добавления зеркал в фундаментальные области.

Подгруппы [(4,4,4)] (*444) с малым индексом
Индек 1 2 4
Диаграмма
Коксетер [(4,4,4)]
 [(1+,4,4,4)]
= 		[(4,1+,4,4)]
= 		[(4,4,1+,4)]
= 		[(1+,4,1+,4,4)]
 [(4+,4+,4)]
Орбифолд *444 *4242 2*222 222×
Диаграмма
Коксетер [(4,4+,4)]
 [(4,4,4+)]
 [(4+,4,4)]
 [(4,1+,4,1+,4)]
 [(1+,4,4,1+,4)]
=
Орбифолд 4*22 2*222
Прямые подгруппы
Индекс 2 4 8
Диаграмма
Коксетер [(4,4,4)]+
 [(4,4+,4)]+
= 		[(4,4,4+)]+
= 		[(4+,4,4)]+
= 		[(4,1+,4,1+,4)]+
=
Орбифолд 444 4242 222222
Радикальные подгруппы
Индекс 8 16
Диаграмма
Коксетер [(4,4*,4)] [(4,4,4*)] [(4*,4,4)] [(4,4*,4)]+ [(4,4,4*)]+ [(4*,4,4)]+
Орбифолд *22222222 22222222

Связанные многогранники и мозаики

*n32 симметрии правильных мозаик: 3n or {3,n}
Сферическая Евклидова Компактная гипербол. Пара-
компактная 		Некомпактная гиперболическая
3.3 33 34 35 36 37 38 3∞ 312i 39i 36i 33i

Исходя из построения Витхоффа существует десять гиперболических однородных мозаик, которые базируются на правильных мозаиках - восьмиугольной и треугольной порядка 8.

Если рисовать мозаики, выкрашивая красным цветом исходные грани, жёлтым цветом исходные вершины и синим цветом исходные рёбра, получим 10 форм.

Правильные мозаики {n,8}
Сферические Гиперболические мозаики

{2,8}
{3,8}
{4,8}
{5,8}
{6,8}
{7,8}
{8,8}
 ...
{∞,8}

Мозаика также может быть получена из (4 3 3) гиперболических мозаик:

См. также

Примечания

Литература

  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 19 The Hyperbolic Archimedean Tessellations) // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 0-486-40919-8. — .

Ссылки

Эта статья взята у (из) Википедия. Текст лицензируется по Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0. К медиа файлам могут применятся дополнительные условия.