Соты (геометрия)

Соты — это заполнение пространства непересекающимися многогранниками, при котором не остаётся незаполненного пространства. Это обобщение математического понятия мозаика или паркет на любую размерность.

Соты обычно рассматриваются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах, например, гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, что даст однородные соты в сферическом пространстве.

Существует бесконечно много сот и они могут быть классифицированы лишь частично. Наиболее правильные мозаики получают наибольший интерес, хотя богатый и широкий набор других мозаик открывается вновь и вновь.

Простейшие соты формируются из слоёв призм, построенных из паркетов на плоскости. В частности, копии любого параллелепипеда могут заполнить пространство, при этом кубические соты являются специальным случаем, поскольку только они образуют правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другим интересным примером служит тетраэдр Хилла и его обобщения, которые также образуют мозаику в пространстве.

Трёхмерные однородные соты — это соты в трёхмерном пространстве, составленные из однородных многогранников имеющих одинаковые вершины (то есть группа изометрий трёхмерного пространства, сохраняющая мозаику, является транзитивной на вершинах). Существует 28 примеров выпуклых мозаик в трёхмерном евклидовом пространстве^[1], называемых также архимедовыми сотами.

Соты называются правильными, если группа изометрий, сохраняющая мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, которое принадлежит грани (всё вместе). Любые правильные соты являются автоматически однородными. Однако существует всего один вид правильных сот в евклидовом трёхмерном пространстве — кубические соты. Двое сот являются квазиправильными (сделанными из двух типов правильных ячеек):

Тетраэдрально-октаэдральные соты и повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты состоят из слоёв, образованных 3-я или 2-я положениями тетраэдров и октаэдров. Бесконечное число уникальных сот можно получить путём разного чередования этих слоёв.

О трёхмерных сотах, имеющих все ячейки идентичными, включая симметрию, говорят как о ячеечно-транзитивных или изохорных. Об ячейке таких сот говорят как о заполняющих пространство многогранниках^[2].

Только пять заполняющих пространство многогранников могут заполнить 3-мерное евклидово пространство с использованием только параллельного переноса. Их называют параллелогранниками:

1. Кубические соты (или вариации: прямоугольный параллелепипед, ромбический шестигранник или параллелепипед);
2. Шестиугольные призматические соты^[3];
3. Ромбододекаэдральные соты;
4. Удлинённые додекаэдральные соты^[4];
5. Соты из глубокоусечённых кубов^[5].

Другие известные примеры:

• Треугольные призматические соты.
• Однородные повёрнутые треугольные призматические соты
• Усечённые триакистетраэдральные соты. Ячейки мозаики Вороного атомов углерода в алмазе имеют такой вид^[6].
• Трапецеидально-ромбические додекаэдральные соты^[7].
• Простые изоэдричечкие мозаики^[8].

Иногда два^[9] и более различных многогранника можно скомбинировать, чтобы заполнить пространство. Хорошо известным примером служит структура Уэйра-Фелана, заимствованная из структуры кристаллов клатратного гидрата^[10].

Структура Уэйра-Фелана (с двумя типами ячеек)

Документированные примеры редки. Можно различить два класса:

• невыпуклые ячейки, упакованные без наложения, аналогично мозаикам из вогнутых многоугольников; они включают упаковку малые звёздчатые ромбические додекаэдры как в кубе Ёсимото;
• мозаики с наложением ячеек, при котором положительные и отрицательные плотности «уничтожаются» с образованием однородного по плотности континуума, аналогично мозаикам с наложением на плоскости.

В трёхмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от размера многогранника. Правильные гиперболические соты включают два вида с четырьмя или пятью додекаэдрами, имеющими общие рёбра. Их двугранные углы тогда будут π/2 и 2π/5, оба меньше, чем у евклидова додекаэдра. За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники.

Исследованы 4 вида компактных правильных гиперболических сот и много однородных гиперболических сот.

Для любых сот имеются двойственные соты, которые могут быть получены обменом:

ячеек на вершины.

граней на рёбра.

Для правильных сот:

• Кубические соты самодвойственны.
• Соты, состоящие из октаэдров и тетраэдров, дуальны сотам из ромбических додекаэдров.
• Слоистые соты, полученные из однородных плоских мозаик, дуальны таким же, полученным из двойственных мозаик.
• Двойственные соты к остальным архимедовым сотам являются ячейно-транзитивными и описаны в статье Инчбальда^[11].

Соты могут быть самодвойственными. Все n-мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3ⁿ⁻²,4} самодвойственны.

• Список однородных мозаик
• Список правильных многомерных многогранников и соединений § Замощения евклидова трёхмерного пространства

• H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
• Williams, R. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 164—199.
• K. Critchlow. Order in space. — New York: Thames & Hudson Inc., 1997. — ISBN 0-500-34033-1.
• Branko Grünbaum. Uniform tilings of 3-space // Geombinatorics. — 1994. — Вып. 4(2).
• P. Pearce. Structure in nature is a strategy for design. — Cambridge, Massachusetts, London: MIT press, 1978.
• Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. A new program for optimizing periodic boundary models of solvated biomolecules (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. — 2001. — Т. 22, вып. 15.
• O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces // Acta Cryst. — 2005. — Вып. A61.
• Linus Pauling. The Nature of the Chemical Bond. — Cornell University Press, 1960. — ISBN 0-8014-0333-2.
• G. Inchbald. The Archimedean Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. — 1997. — Вып. 81, July.

• Glossary For Hyperspace
• Five space-filling polyhedra, Guy Inchbald
• The Archimedean honeycomb duals, Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80, November 1996, p.p. 466—475.
• Raumfueller (Space filling polyhedra) by T.E. Dorozinski