Однородные соты
Однородные соты, или однородное замощение, или бесконечный однородный многогранник — это вершинно транзитивные соты, состоящие из однородных фасет. Все их вершины идентичны и имеют ту же самую комбинацию и расположение фасет. Размерность сот может быть указана как n-соты или n-мерные соты.
n-Мерные однородные соты можно построить на поверхности n-сферы, на n-мерном евклидовом пространстве и n-мерном гиперболическом пространстве. 2-Мерные однородные соты чаще называют однородной мозаикой, однородным паркетом или однородным замощением.
Почти все однородные соты могут быть получены с помощью построения Витхоффа и представлены диаграммой Коксетера — Дынкина.
Терминология для выпуклых однородных многогранников, используемая в статьях Однородный многогранник, Однородный 4-мерный многогранник, Однородный 5-мерный многогранник, Однородный 6-мерный многогранник, Однородная мозаика и Выпуклые однородные соты, была придумана Норманом Джонсом.
Замощение Витхофа может быть определено вершинной фигурой. Для двумерной мозаики оно может быть задано конфигурацией вершины, перечисляющей грани вокруг вершины. Например, 4.4.4.4 представляет правильное замощение (квадратную мозаику) с 4 квадратами вокруг каждой вершины. В общем случае вершинная фигура n-мерного однородного замощения определяется (n−1)-многогранниками с рёбрами, снабжёнными целыми числами, представляющими число сторон могогугольной грани для каждого ребра, исходящего из вершины.
Примеры однородных сот
| 2-мерные замощения | ||||
|---|---|---|---|---|
| Сферические | Евклидовы | Гиперболические | ||
| Диаграмма Коксетера — Дынкина |
||||
| Рисунок | Усечённый икосододекаэдр |
Усечённая треугольно-шестиугольная мозаика |
Усечённая треугольно-семиугольная мозаика (модель Пуанкаре) |
Усечённая треугольно-бесконечноугольная мозаика |
| Вершинная фигура | ||||
| 3-мерные соты | ||||
| 3-сферические | 3-евклидовы | 3-гиперболические | ||
| и паракомпактрые однородные соты | ||||
| Диаграмма Коксетера — Дынкина |
||||
| Рисунок | (Стереографическая проекция) Шестнадцатиячейник |
Кубические соты |
Додекаэдральные соты порядка 4 (модель Бельтрами — Клейна) |
Шестиугольномозаичные соты порядка 4 (модель Пуанкаре) |
| Вершинная фигура | (Октаэдр) |
(Октаэдр) |
(Октаэдр) |
(Октаэдр) |
Смотрите также
- Однородная мозаика
- Список однородных мозаик на евклидовой плоскости
- Однородные мозаики на гиперболической плоскости
- Соты (геометрия)
- Построение Витхоффа
- Выпуклые однородные соты
- Список правильных многомерных многогранников и соединений
Примечания
Литература
- George Olshevsky. Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs - Model 88 // Uniform Panoploid Tetracombs. — Manuscript, 2006.
- Branko Grünbaum. Uniform tilings of 3-space // Geombinatorics. — 1994. — Вып. 4. — С. 49–56.
- Norman Johnson. Uniform Polytopes. — 1991.
- Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — ISBN 0-486-23729-X.
- Branko Grünbaum, G.C. Shephard. Tilings and Patterns. — 1987. — ISBN 0-7167-1193-1.
- H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — Third edition. — Dover edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8i.
- K. Critchlow. Order in space: A design source book. — New York: Viking Press, 1970. — ISBN 0-500-34033-1.
- Norman Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto: Ph.D. Dissertation, 1966.
- A. Andreini. Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets) // Mem. Società Italiana della Scienze. — 1905. — Вып. 14. — С. 75–129.
Ссылка
- Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Tessellations of the Plane
- Richard Klitzing. 2D Euclidean tesselations.