Список однородных мозаик на евклидовой плоскости

.

Таблица показывает 11 выпуклых однородных мозаик (правильных и полуправильных) на евклидовой плоскости, а также их двойственные мозаики.

Имеется три правильные и одиннадцать полуправильных мозаик на плоскости. Полуправильные мозаики образуют плитки из своих двойственных мозаик, состоящих из одного типа плиток.

Джон Конвей называл эти однородные двойственные мозаики мозаиками Каталана по аналогии с каталановыми многогранниками.

Однородные мозаики перечислены по их конфигурации вершин, последовательности граней, примыкающих к каждой вершине. Например, 4.8.8 означает квадрат и два восьмиугольника в вершине.

Эти 11 однородных мозаики имеют 32 различные однородные раскраски. Однородная раскраска позволяет многоугольники с тем же число сторон быть выкрашенными в разные цвета, если сохраняется однородность вершин и конгруэнтность при движении между вершинами. (Заметьте, некоторые рисунки ниже не однородны по раскраске.)

Ещё 28 однородных мозаик используют апейрогоны. Если допустим зигзаг, есть ещё 23 известные однородные мозаике и ещё 10 семейств зависят от параметра - в 8 случаях параметр непрерывен, в двух случаях - дискретен. Неизвестно, полно ли множество известных мозаик.

В книге 1987 года Tilings and patterns (Мозаики и узоры) Бранко Грюнбаум называет вершинно-однородные мозаики архимедовыми по аналогии с архимедовыми телами. Их двойственные мозаики называются мозаиками Лавеса в честь кристаллографа Фрица Лавеса^[1][2]. Они также называются мозаиками Шубникова–Лавеса в честь Алексея Васильевича Шубникова^[3]. Джон Конвей называл одвойственные однородным мозаикам мозаиками Картана по аналогии с каталановыми телами.

Мозаики Лавеса имеют вершины в центрах правильных многоугольников, а рёбра соединяют центры правильных многоугольников. Плитки мозаик Лавеса называются планигонами. Оги включают 3 правильные плитки (треугольная, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток^[4]. Каждая вершина имеет рёбра, равномерно расположенные вокруг неё. Трёхмерные аналоги планигонов называются стереоэдрами.

Двойственные мозаики перечислены по из конфигурации грани, числу граней в каждой вершине. Например V4.8.8 означает плитку в виде равнобедренного треугольника, а два угла содержат по восемь треугольников.

Все формы отражения согут быть созданы построениями Витхоффа, предcтавленными символами Витхофа или диаграммами Коксетера — Дынкина. Частично усечённые формы, такие, как отсечение вершин, могут быть также представлены при использовании специальных меток внутри каждой системы. Только одна однородная мозаика не может быть построена с помощью процесса Витхофа, но она может быть получена с помощью удлиннения треугольной мозаики. Построение с ортогональным зеркалом [∞,2,∞] также существует и представляет собой набор параллельных зеркал, образующих прямоугольную фундаментальную область. Если фундаментальная область является квадратом, симметрия может быть удвоена диагональным зеркалом.

Семейства:

• (4,4,2), ${\displaystyle {\tilde {BC}}_{2}}$, [4,4] – Симметрия правильной квадратной мозаики
  • ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}^{2}}$, [∞,2,∞]
• (6,3,2), ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$, [6,3] – Симметрия правильной шестиугольный мозаики и треугольной мозаики.
  • (3,3,3), ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$, [3^[3]]

Существует в общей сложности 32 однородные раскраски 11 однородных мозаик:

1. Треугольная мозаика – 9 однородных раскрасок, 4 витхофовы, 5 невитхофовых
   •          
2. Квадратная мозаика – 9 раскрасок, : 7 витхофовых, 2 невитхофовых
   •          
3. Шестиугольная мозаика – 3 раскраски, все витхофовы
   •    
4. Тришестиугольная мозаика – 2 раскраски, обе витхофовы
   •   
5. Плосконосая квадратная мозаика – 2 раскраски, обе витхофовы
   •   
6. Усечённая квадратная мозаика – 2 раскраски, обе витхофовы
   •   
7. Усечённая шестиугольная мозаика – 1 раскраска, витхофова
   •  
8. Ромботришестиугольная мозаика – 1 раскраска, витхофова
   •  
9. Усечённая тришестиугольная мозаика – 1 раскраска, витхофова
   •  
10. Плосконосая тришестиугольная мозаика – 1 чередующаяся раскраска, витхофова
    •  
11. Удлиннённая треугольная мозаика – 1 раскраска, невитхофова
    •  

• Выпуклые однородные соты – The 28 uniform 3-dimensional tessellations, a parallel construction to the convex uniform Euclidean plane tilings.
• Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
• Однородные мозаики на гиперболической плоскости

• H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller. Uniform polyhedra // Phil. Trans.. — 1954. — Т. 246 A. — С. 401–450.
• Laura Asaro, John Hyde, Melanie Jensen, Casey Mann, Tyler Schroeder. Uniform edge-c-colorings of the Archimedean Tilings. — University of Washington.
• Branko Grünbaum, Geoffrey Shephard. Tilings by Regular polygons. — 1977. — Ноябрь (т. 50, вып. 5).
• Dale Seymour, Jill Britton. Introduction to Tessellations. — Dale Seymour Publications, 1989. — С. 50–57, 71-74. — ISBN 978-0866514613.

• Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Uniform Tessellations on the Euclid plane
• Tessellations of the Plane
• David Bailey's World of Tessellations
• k-uniform tilings
• n-uniform tilings