Усечённая четырёх-шестиугольная мозаика

Усечённая четырёх-шестиугольная мозаика

Тип	Гиперболическая однородная мозаика
Конфигурация вершины	4.8.12
Символ Шлефли	t{6,4} или $t{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}$
Символ Витхоффа	2 6 \| 4
Симметрии	[6,4], (*642)
Диаграммы Коксетера — Дынкина	или
Двойственные соты	кис-ромбическая мозаика порядка 4-6
Свойства	Изогональная

Усечённая четырёх-шестиугольная мозаика — это a полурегулярная мозаика на гиперболической плоскости. В этой мозаике в каждой вершине сходятся один квадрат, один восьмиугольник, и один двенадцатиугольник. Мозаика имеет символ Шлефли tr{6,4}.

Двойственная мозаика


Двойственная мозаика называется кис-ромбической мозаикой порядка 4-6, состоящей из полного разбиения шестиугольной мозаики порядка 4^[1]. На рисунке треугольники показаны в чередующихся цветах. Эта мозаика представляет фундаментальную треугольную область с симметрией [6,4] (*642).

Связанные многогранники и мозаики

*n42 симметрии общеусечённых мозаик: *4.8.2n*
Симметрия *n42 [n,4]	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Паракомп.
Симметрия *n42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]…	*∞42 [∞,4]
Общеусечённая фигура	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Общеусечённые двойственные	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

*nn2 мутации симметрий всеусечённых мозаик: 4.2n.2n
Симметрия *nn2 [n,n]	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Паракомпактная
Симметрия *nn2 [n,n]	*222 [2,2]	*332 [3,3]	*442 [4,4]	*552 [5,5]	*662 [6,6]	*772 [7,7]	*882 [8,8]...	*∞∞2 [∞,∞]
Рисунок
Конф.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Двойственная фигура
Конф.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Согласно построению Витхоффа существует 14 гиперболических одородных мозаик, базирующихся на правильной шестиугольной мозаике порядка 4.

Если рисовать мозаики с выделенными красным цветом исходными фигурами, жёлтым цветом исходными вершинами и синим цветом исходными рёбрами, получим 7 рисунков с полной [6,4] симметрией и 7 с подсимметрией.

Однородные четырёхшестиугольные мозаики
*Симметрия: [6,4], (642)** ( [6,6] (662), [(4,3,3)] (443) , [∞,3,∞] (3222) index 2 subsymmetries) (и [(∞,3,∞,3)] (3232) подсимметрия)
= = =	=	= = =	=	= = =	=

{6,4}	t{6,4}	r{6,4}	t{4,6}	{4,6}	rr{6,4}	tr{6,4}
Однородные двойственные duals


V6⁴	V4.12.12	V(4.6)²	V6.8.8	V4⁶	V4.4.4.6	V4.8.12
Альтернирования
[1⁺,6,4] (*443)	[6⁺,4] (6*2)	[6,1⁺,4] (*3222)	[6,4⁺] (4*3)	[6,4,1⁺] (*662)	[(6,4,2⁺)] (2*32)	[6,4]⁺ (642)
=	=	=	=	=	=

h{6,4}	s{6,4}	hr{6,4}	s{4,6}	h{4,6}	hrr{6,4}	sr{6,4}

Симметрия

Мозаика, двойственная рассматриваемой, представляет фундаментальную область (*642) с орбифолдной симметрией. Из симметрии [6,4] следует, что имеется 15 подгрупп малого индекса, получаемых удалением зеркального отражения и операцией альтернации. Отражения могут быть удалены, если все порядки ветвей чётны. Удаление двух отражений оставляет точку вращения половинного порядка в месте пересечения зеркал. В этих рисунках оси отражений (зеркала) показаны красным, зелёным и синим цветом, а треугольники с чередующейся окраской показывают положение точек вращения. Подгруппа [6⁺,4⁺], (32×) имеет тонкие линии, представляющие скользящие отражения. Группа [1⁺,6,1⁺,4,1⁺] (3232) с индексом 8 является коммутантом группы [6,4].

Бо́льшая подгруппа, построенная как [6,4*] путём удаления точек вращения [6,4⁺], (3*22) с индексом 6 становится (*3333), а группа, построенная как [6*,4] путём удаления точек вращения [6⁺,4], (2*33) с индексом 12 становится (*222222). Наконец, их прямые подгруппы^[2] [6,4*]⁺, [6*,4]⁺, с индексами 12 и 24 соответственно, можно задать в орбифолдной нотации как (3333) и (222222).

Подгруппы [6,4] с малым индексом
Индекс	1	2			4
Диаграмма
Коксетер	[6,4] = =	[1⁺,6,4] =	[6,4,1⁺] = =	[6,1⁺,4] =	[1⁺,6,4,1⁺] =	[6⁺,4⁺]
Генераторы	{0,1,2}	{1,010,2}	{0,1,212}	{0,101,2,121}	{1,010,212,20102}	{012,021}
Орбифолд	*443	*662	*3222	*3232	32×
Полупрямые подгруппы
Диаграмма
Коксетер		[6,4⁺]	[6⁺,4]	[(6,4,2⁺)]	[6,1⁺,4,1⁺] = = = =	[1⁺,6,1⁺,4] = = = =
Генераторы		{0,12}	{01,2}	{1,02}	{0,101,1212}	{0101,2,121}
Орбифолд		4*3	6*2	2*32	2*33	3*22
Прямые подгруппы
Индекс	2	4			8
Диаграмма
Коксетер	[6,4]⁺ =	[6,4⁺]⁺ =	[6⁺,4]⁺ =	[(6,4,2⁺)]⁺ =	[6⁺,4⁺]⁺ = [1⁺,6,1⁺,4,1⁺] = = =
Генераторы	{01,12}	{(01)²,12}	{01,(12)²}	{02,(01)²,(12)²}	{(01)²,(12)²,2(01)²2}
Орбифолд	642	443	662	3222	3232
Радикальные подгруппы
Индекс		8	12	16	24
Диаграмма
Коксетер		[6,4*] =	[6*,4]	[6,4*]⁺ =	[6*,4]⁺
Орбифолд		*3333	*222222	3333	222222

См. также

Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
Список однородных мозаик на плоскости

Примечания

↑ Префикс кис- и означает такое разбиение.
↑ В группах Коксетера прямыми подгруппами называются подгруппы, имеющие прямой изоморфизм (без симметрии). В этом контексте прямой изоморфизм - это изоморфизм, сохраняющий хира́льность. Полупрямые подгруппы могут включать как отрражающие, так и неотражающие генераторы.

Литература

John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 19 The Hyperbolic Archimedean Tessellations) // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 0-486-40919-8. — .

Ссылки

Weisstein, Eric W. Hyperbolic tiling (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Poincaré hyperbolic disk (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery
KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings
Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch

[1] Префикс кис- и означает такое разбиение.

[2] В группах Коксетера прямыми подгруппами называются подгруппы, имеющие прямой изоморфизм (без симметрии). В этом контексте прямой изоморфизм - это изоморфизм, сохраняющий хира́льность. Полупрямые подгруппы могут включать как отрражающие, так и неотражающие генераторы.

[1]

[2]