Список k-однородных мозаик

k-Однородные мозаики — это замощение плоскости выпуклыми правильными многоугольниками, соединёнными ребро-к-ребру и имеющими k типов вершин. 1-Однородные мозаики включают 3 правильные мозаики и 8 полуправильных мозаик. 1-Однородные мозаики могут определены их вершинными конфигурациями. Более высокие k-однородные мозаики перечислены по их вершинным фигурам, но они, в общем случае, не определяются уникально таким образом.

Полные списки k-однородных мозаик известны вплоть до k=6. Существует 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородная мозаика, 151 4-однородная мозаика, 332 5-однородные мозаики и 673 6-однородные мозаики. Данная статья приводит все решения вплоть до k=5.

Другие замощения правильными многоугольниками не ребро-к-ребру позволяют использование многоугольников других размеров и сдвиг места контакта.

Такие периодические замощения выпуклыми многоугольниками можно классифицировать по числу орбит вершин, рёбер и плиток. Если имеется k орбит вершин, мозаика считается k-однородной или k-вершинно транзитивной; Если имеется t орбит плиток, мозаика считается t-гранетранзитивной; Если имеется e орбит рёбер, мозаика считается e-рёберно транзитивной.

k-однородные мозаики с одинаковой вершинно фигурой можно далее идентифицировать по их симметрии группы орнамента.

1-однородные мозаики вклюяает 3 правильные мозаики и 8 полуправильных с 2 и более типами правильных граней. Имеется 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородная мозаика, 151 4-однородная мозаика, 332 5-однородные мозаики и 673 6-однородные мозаики. Мозаики можно сгруппировать по числу m различных вершинных фигур, они называются также m-архимедовыми мозаиками^[1].

Наконец, если число типов верши равно однородности (m = k ниже), то говорят, что это мозаика Кротенхирдта. В общем случае однородность больше либо равна числу типов вершин (m ≥ k), поскольку различные типы вершин обязательно имеют различные орбиты, что в обратную сторону не выполняется. Если положить m = n = k, имеется 11 таких мозаик для n = 1; 20 для n = 2; 39 для n = 3; 33 для n = 4; 15 для n = 5; 10 для n = 6 и 7 таких мозаик для n = 7.

Говорят, что мозаика правильная, если группа симметрии мозаики действует транзитивно на флаги мозаики, где флаг — это тройка, состоящая из взаимно инцидентных вершины, ребра и грани. Это означает, что для каждой пары флагов существует операция симметрии, переводящая первый флаг во второй. Это эквивалентно тому, что мозаика состоит из соединённых ребро-к-ребру конгруэнтных правильных многоугольников. Должно быть шесть правильных треугольников, четыре квадрата или три правильных шестиугольника в вершине, в результате получаем три правильных мозаики.

Вершинная транзитивность означает, что для любой пары вершин имеется операция симметрии, переводящая первую вершину во вторую^[3].

Если требование транзитивности флагов ослаблено до требования транзитивности вершин при сохранении соединения многоугольников ребро-к-ребру, имеется восемь дополнительных мозаик, известных как архимедовыили однородные. Заметим, что имеется два зеркальных отражения (энантиоморфный или хиральный), образующих 3⁴.6 (плосконосую шестиугольную) мозаику, только одна из которых показана в следующей таблице. Все другие правильные и полуправильные мозаики ахиральны.

Грюнбаум и Шепард примененяют термин архимедова для этих мозаик как ссылку на локальность свойства расположения плиток вокруг вершины, а термин однородная как ссылку на глобальность свойства транзитивности вершин. Хотя на плоскости это приводит к одному и тому же множеству мозаик, в других пространствах есть архимедовы мозаики, не являющиеся однородными.

Имеется двадцать (20) 2-однородных мозаик на евклидовой плоскости (называемых также 2-вершинно транзитивными мозаиками)^[4][5][6] Типы вершин указаны для каждой мозаики. Если две мозаики имеет два одинаковых типа вершин, добавляются индексы 1,2.

Имеется 61 3-однородная мозаика на евклидовой плоскости. 39 мозаик являются 3-архимедовы с 3 различными типами вершин, в то время как 22 имеют 2 идентичных типа вершин с различными орбитами симметрии^[7].

Имеется 151 4-однородные мозаики на евклидовой плоскости. Поиск, проведённый Брайаном Галебахом, воспроизвёл список Кротенхирдта из 33 4-однородных мозаик с 4 различными типами вершин, как и списки 85 мозаик с 3 типами вершин и 33 с 2 типами вершин.

Имеется 33 мозаики с 4 типами вершин.

Имеется 85 мозаик с 3 типами вершин.

Имеется 33 мозаики с 2 типами вершин, 12 с двумя парами типов и 21 с отношением типов 3:1.

Имеется 332 5-однородные мозаики на евклидовой плоскости. Поиск, проведённый Брайаном Галебахом, воспроизвёл список Кротенхирдта из 332 5-однородных мозаик с типами вершин от 2 до 5. Имеется 74 мозаики с 2 типами вершин, 149 мозаик с 3 типами вершин, 94 мозаик с 4 типами вершин и 15 с 5 типами.

Имеется 15 5-однородных мозаик с 5 типами вершинных фигур.

Имеется 94 5-однородные мозаики с 4 типами вершин.

Имеется 149 5-однородных мозаик, 60 имеют копии 3:1:1, 89 имеют копии 2:2:1.

Имеется 74 5-однородных типов с 2 типами вершин, 27 с 4:1 и 47 с 3:2 копиями каждого типа.

Имеется 29 5-однородных мозаик с 3 и 2 типами вершинных фигур.

k-Однородные мозаики были перечислены вплоть до k=6. Имеется 673 6-однородные мозаики на евклидовой плоскости. Поиск, проведённый Брайаном Галебахом, воспроизвёл список Кротенхирдта из 10 6-однородных мозаик с 6 различными типами вершин, список из 92 с 5 типами вершин, 187 с 4 типами вершин, 284 с 3 типами вершин и 100 с 2 типами вершин.

• n-uniform tilings, Brian Galebach
• Dutch, Steve. Uniform Tilings . Дата обращения: 9 сентября 2006. Архивировано из оригинала 9 сентября 2006 года.
• Mitchell, K. Semi-Regular Tilings . Дата обращения: 9 сентября 2006.
• Weisstein, Eric W. Tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Semiregular tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Demiregular tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.